Resolva as equações lineares usando o fator integrante. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida, se for o caso.
Passo 1
Temos a equação linear de 1ª ordem
com condição inicial
. Vamos usar o método do fator integrante. Note que
e
só estão bem definidos onde
. Como a condição inicial é em
, vamos trabalhar no intervalo em que
, por exemplo
.
Passo 2
Aqui
e
. O fator integrante é
No intervalo
temos
, logo
.
Passo 3
Multiplicando a equação original por
obtemos
Mas o lado esquerdo é a derivada de
, pois
Logo
Passo 4
Integramos em
:
Usando
:
Assim
Passo 5
Como dependemos de
e
, precisamos
. Para a condição inicial em
, o intervalo de validade é
.