Resolva as equações lineares usando o fator integrante. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida, se for o caso.
y^{\prime}+\operatorname{tg}(x) y=\cos ^{2}(x) \operatorname{com} y(0)=-1

Passo 1

Temos a equação linear de 1ª ordem
y' + \tan(x)\,y = \cos^2(x)
com condição inicial y(0)=-1. Vamos usar o método do fator integrante. Note que \tan(x) e \cos^2(x) só estão bem definidos onde \cos(x)\neq0. Como a condição inicial é em x=0, vamos trabalhar no intervalo em que \cos(x)>0, por exemplo (-\pi/2,\pi/2).

Passo 2

Aqui P(x)=\tan(x) e Q(x)=\cos^2(x). O fator integrante é
\mu(x)=\exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) =\exp\Bigl(\int \tan(x)\,dx\Bigr) =\exp\bigl(-\ln|\cos(x)|\bigr) =\frac1{|\cos(x)|}.
No intervalo (-\pi/2,\pi/2) temos \cos(x)>0, logo \mu(x)=\operatorname{sec}(x).

Passo 3

Multiplicando a equação original por \operatorname{sec}(x) obtemos
\operatorname{sec}(x)\,y' + \operatorname{sec}(x)\tan(x)\,y = \operatorname{sec}(x)\cos^2(x) = \cos(x).
Mas o lado esquerdo é a derivada de \operatorname{sec}(x)\,y, pois
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec}(x)\,y\bigr) = \operatorname{sec}(x)\,y' + \operatorname{sec}(x)\tan(x)\,y.
Logo
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec}(x)\,y\bigr) = \cos(x).

Passo 4

Integramos em x:
\operatorname{sec}(x)\,y = \int \cos(x)\,dx = \sin(x) + C \quad\Longrightarrow\quad y = \cos(x)\,\bigl(\sin(x)+C\bigr).
Usando y(0)=-1:
-1 = \cos(0)\,(\sin(0)+C) = 1\cdot(0+C) \quad\Longrightarrow\quad C=-1.
Assim
y(x) = \cos(x)\,\bigl(\sin(x)-1\bigr).

Passo 5

Como dependemos de \operatorname{sec}(x) e \tan(x), precisamos \cos(x)\neq0. Para a condição inicial em x=0, o intervalo de validade é (-\pi/2,\pi/2).

Resposta

y(x) = \cos(x)\,\bigl(\sin(x)-1\bigr), \quad x\in(-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2).

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