Calcule a integral dupla sobre a região indicada:
\iint_{D} 12 x^{2} y-y^{2} d A \operatorname{com} D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid-2 \leqslant x \leqslant 2,-x^{2} \leqslant y \leqslant x^{2}\right\}

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular
\iint_{D}\bigl(12x^{2}y - y^{2}\bigr)\,dA \quad\text{com}\quad D = \{(x,y)\mid -2 \le x \le 2,\,-x^{2}\le y \le x^{2}\}.
O conteúdo é cálculo de integral dupla em coordenadas cartesianas, integrando primeiro em y.

Passo 2

Escrevemos a integral como iterada:
\iint_{D}(12x^{2}y - y^{2})\,dA = \int_{x=-2}^{2}\!\Bigl[\int_{y=-x^{2}}^{x^{2}}(12x^{2}y - y^{2})\,dy\Bigr]\,dx.

Passo 3

Para cada x fixo, note que 12x^{2}y é função ímpar em y enquanto -y^{2} é par. Logo
\int_{-x^{2}}^{x^{2}}12x^{2}y\,dy = 0, \quad \int_{-x^{2}}^{x^{2}}(-y^{2})\,dy = -2\int_{0}^{x^{2}}y^{2}\,dy.
Assim o integral interno vale
-2\int_{0}^{x^{2}}y^{2}\,dy = -2\Bigl[\frac{y^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{x^{2}} = -\frac{2}{3}x^{6}.

Passo 4

Substituindo na integral externa:
\int_{-2}^{2}\Bigl(-\tfrac{2}{3}x^{6}\Bigr)\,dx = -\frac{2}{3}\int_{-2}^{2}x^{6}\,dx = -\frac{2}{3}\cdot 2\int_{0}^{2}x^{6}\,dx = -\frac{4}{3}\Bigl[\frac{x^{7}}{7}\Bigr]_{0}^{2} = -\frac{4\cdot 2^{7}}{3\cdot 7} = -\frac{512}{21}.

Resposta

-\frac{512}{21}

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