Verifique se a equação é exata e, se for, resolva.
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial
com condição inicial
.
Isso é um caso clássico de equação exata, em que definimos
Isso é um caso clássico de equação exata, em que definimos
e seguimos dois passos: (1) verificar se
e, se for exata, (2) encontrar uma função potencial
tal que
e
.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Procuramos
tal que
Integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma “constante” de integração que depende só de
.
Passo 4
Agora usamos a outra condição de exatidão,
. Calculamos
deve ser igual a
Logo
Passo 5
A função potencial completa fica
A solução geral implícita da equação exata é
ou seja
Passo 6
Aplicando a condição inicial
:
em temos
,
,
e
.
Portanto , isto é
.
em
Portanto