Verifique se a equação é exata e, se for, resolva.
\left(y^{2} \cos (x)-3 x^{2} y-2 x\right) d x+\left(2 y \operatorname{sen}(x)-x^{3}+\ln (y)\right) d y=0 \operatorname{com} y(0)=e

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
\bigl(y^{2}\cos x - 3x^{2}y - 2x\bigr)\,dx + \bigl(2y\sin x - x^{3} + \ln y\bigr)\,dy = 0
com condição inicial y(0)=e.
Isso é um caso clássico de equação exata, em que definimos
M(x,y) = y^{2}\cos x - 3x^{2}y - 2x, \quad N(x,y) = 2y\sin x - x^{3} + \ln y
e seguimos dois passos: (1) verificar se \partial M/\partial y = \partial N/\partial x e, se for exata, (2) encontrar uma função potencial \Psi(x,y) tal que \partial \Psi/\partial x = M e \partial \Psi/\partial y = N.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{2}\cos x - 3x^{2}y - 2x\bigr) = 2y\cos x - 3x^{2},
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(2y\sin x - x^{3} + \ln y\bigr) = 2y\cos x - 3x^{2}.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x} = M(x,y).
Integramos M em relação a x, tratando y como constante:
\Psi(x,y) = \int \bigl(y^{2}\cos x - 3x^{2}y - 2x\bigr)\,dx = y^{2}\sin x \;-\; y\,x^{3}\;-\; x^{2} \;+\; h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que depende só de y.

Passo 4

Agora usamos a outra condição de exatidão, \partial \Psi/\partial y = N(x,y). Calculamos
\frac{\partial \Psi}{\partial y} = 2y\sin x \;-\; x^{3} \;+\; h'(y)
deve ser igual a
N(x,y) = 2y\sin x - x^{3} + \ln y.
Logo
h'(y) = \ln y \quad\Longrightarrow\quad h(y) = \int \ln y\,dy = y\ln y - y.

Passo 5

A função potencial completa fica
\Psi(x,y) = y^{2}\sin x \;-\; y\,x^{3}\;-\; x^{2} \;+\; y\ln y \;-\; y.
A solução geral implícita da equação exata é
\Psi(x,y) = C,
ou seja
y^{2}\sin x \;-\; x^{3}y \;-\; x^{2} \;+\; y\ln y \;-\; y = C.

Passo 6

Aplicando a condição inicial y(0)=e:
em x=0 temos \sin0=0, x^{3}y=0, x^{2}=0 e y\ln y - y = e\cdot1 - e = 0.
Portanto \Psi(0,e)=0, isto é C=0.

Resposta

\boxed{y^{2}\sin x \;-\; x^{3}y \;-\; x^{2} \;+\; y\ln y \;-\; y = 0.}

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