Encontre uma solução contínua para o seguinte problema valor inicial:
dd x+y=f(x), f(x)=l 1, -1, x>1 , y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para achar uma solução contínua de uma equação diferencial linear de primeira ordem y'+y=f(x) com condição inicial y(0)=1, onde f(x)=1 para 0<= x<=1 e f(x)=-1 para x>1. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Para 0<= x<=1 temos y'+y=1. O fator integrante é e^x, pois é solução de μ'(x)=μ(x). Multiplicando a EDO por e^x
ddxl(y e^xr)=e^xcdot1=e^x
Integrando,
y e^x=integral e^xdx=e^x+C1implies y=1+C1e^-x
Como y(0)=1, vem 1+C1=1 e, portanto, C1=0. Logo
y(x)=1para 0<= x<=1

Passo 3

Para x>1 a EDO é y'+y=-1. Novamente o fator integrante é e^x e
ddxl(y e^xr)=e^x(-1)=-e^x
Integrando,
y e^x=-integral e^xdx=-e^x+C2implies y=-1+C2e^-x

Passo 4

Para garantir continuidade em x=1, impomos
limxto1^-y(x)=limxto1^+y(x)
Isto é,
1=-1+C2e^-1implies C2e^-1=2implies C2=2e

Passo 5

Com isso temos as duas ramas da solução contínua montadas.

Resposta

A solução contínua é
y(x)= 1,&0<= x<=1, -1+2e^1-x,&x>1

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