Encontre a solução
do P.V.I. dado, utilizando Transformada de Laplace:
- 6.)
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial (P.V.I.):
com condições iniciais
O que se pede: encontrar a solução
para todo
, usando Transformada de Laplace.
Informações relevantes fornecidas: a força de entrada é a delta de Dirac em , e as condições iniciais são zero.
Informações relevantes fornecidas: a força de entrada é a delta de Dirac em
Passo 2
Relembrando (de forma didática) propriedades essenciais da Transformada de Laplace que vamos usar.
Definição da Transformada de Laplace de uma função
:
onde
é a variável complexa da transformada. A transformada inversa é denotada
.
Propriedades que usaremos:
- Transformada de derivadas (para funções com condições iniciais conhecidas):
onde
.
- Transformada da delta de Dirac deslocada:
- Teorema do deslocamento no tempo (para a inversa): se
, então
onde
é a função degrau de Heaviside (igual a
para
e
para
). Em linguagem mais intuitiva: multiplicar por
na frequência corresponde a atrasar a função no tempo por
e multiplicar por
.
Vou usar exatamente essas propriedades no cálculo.
Passo 3
Aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Denotando
, e usando as condições iniciais
,
:
Transformada do lado esquerdo:
Substituindo
e
isso simplifica para
Transformada do lado direito:
Portanto a equação transformada é
Passo 4
Isolamos
por álgebra simples:
Agora precisamos calcular a transformada inversa de
. Observe que
tem o fator
multiplicando uma função racional em
— isso indica que vamos usar o teorema do deslocamento no tempo ao inverter.
Passo 5
Simplificamos a expressão no denominador completando quadrado:
Logo
Agora identifiquemos a transformada inversa sem o fator exponencial de atraso:
se definirmos
se definirmos
precisamos encontrar
.
Passo 6
Recordando fórmulas básicas de Laplace (essas são úteis e comuns em provas):
Para
e
,
Comparando com
, vemos que se escolhemos
e
então
Portanto
Passo 7
Agora aplicamos o teorema do deslocamento na inversa (já citado no Passo 2). Como
com
e
conhecidos, temos
Substituindo
:
Passo 8
Interpretação e verificação rápida (para ganhar confiança): a solução é zero para
(pois a entrada delta só atua em
), e para
a resposta segue a forma do sistema linear com condições iniciais impostas pelo impacto do impulso em
, que produz um início de resposta proporcional a
. Isso está coerente com a ideia física e com a forma matemática obtida.