Considere o valor de
da Parte 2 de modo que
e
sejam ortogonais. Agora tomemos os vetores
e
como os segmentos de reta orientados com o mesmo ponto inicial, determine então a área
do triângulo induzido por estes dois vetores com mesmo ponto inicial usando compulsoriamente o produto vetorial entre os vetores (e as fórmulas associadas a áreas paralelogramas e/ou triângulos)
Área
do triângulo
Passo 1
O enunciado pede para determinar a área
do triângulo formado por dois vetores
e
colocados como segmentos orientados com o mesmo ponto inicial, usando obrigatoriamente o produto vetorial (e as fórmulas de área de paralelogramo/triângulo). Diz também: “Considere o valor de
da Parte 2 de modo que
e
sejam ortogonais.”\n\nInformações dadas no enunciado que eu tenho aqui:\n- Queremos a área do triângulo formado por
e
com mesmo ponto inicial;\n- Devemos usar o produto vetorial;\n- Devemos considerar
tal que
e
sejam ortogonais.\n\nInformação que NÃO foi fornecida (necessária para um valor numérico):\n- As componentes explícitas de
e
(ou seja, os valores numéricos que definem
e
, incluindo onde aparece
).\n\nConsequência: sem as componentes específicas de
e
não é possível calcular um valor numérico final para a área. Vou, então, mostrar passo a passo como resolver essa questão na prova: (1) como obter
exigindo ortogonalidade; (2) como calcular o produto vetorial; (3) como obter a área do triângulo, e (4) a simplificação que ocorre no caso ortogonal. No final dou a fórmula final que vale quando
e
são ortogonais.
Passo 2
Como encontrar
a partir da condição de ortogonalidade (aula rápida sobre produto interno):\n\nDefinição/fórmula útil: o produto escalar (ou interno) entre dois vetores
e
é\n
\n\nPropriedade usada: dois vetores são ortogonais se e somente se o produto escalar entre eles é zero. Ou seja,
quando
.\n\nAplicação ao problema: suponha que a componente que envolve
esteja em alguma posição de
ou
. Escreva as componentes gerais (por exemplo
e
, onde algum
ou
depende de
). A condição
dá uma equação linear em
:\n
\n\nResolvendo essa equação para
obtém-se o valor de
que torna os vetores ortogonais. Exemplo ilustrativo (não extraído do seu enunciado, apenas mostrando a técnica): se
e
, a condição é\n
\n\nNo seu caso, faça exatamente isso com as componentes dadas na Parte 2.
Passo 3
Como calcular o produto vetorial (aula prática):\n\nDefinição/fórmula: para
e
o produto vetorial
é o vetor dado por\n
\n\nExplicação do que cada coisa significa: cada componente do vetor cruzado é uma diferença de produtos cruzados das componentes originais — memorize (ou derive com determinante) essa fórmula. O produto vetorial dá um vetor perpendicular a ambos
e
, com direção segundo a regra da mão direita e módulo igual à área do paralelogramo formado por
e
.\n\nCálculo em prova: substitua as componentes conhecidas (já com
escolhido se necessário) na fórmula acima e calcule cada componente lendo cuidadosamente os sinais.
Passo 4
Como obter a magnitude do produto vetorial (módulo) e a relação com áreas:\n\nA magnitude do produto vetorial é\n
\n\nInterpretação geométrica e fórmula de área: a magnitude
é a área do paralelogramo formado pelos vetores
e
. Como o triângulo formado por esses vetores (com mesmo ponto inicial) tem metade da área do paralelogramo, a área
do triângulo é\n
Passo 5
Simplificação no caso ortogonal (importante para esse exercício):\n\nFórmula trigonométrica do módulo do produto vetorial: em geral\n
\nonde
é o ângulo entre
e
, e
é o comprimento (norma) do vetor
, dada por
.\n\nSe
e
são ortogonais, então
e
. Logo, para vetores ortogonais\n
\n\nPortanto, a área do triângulo fica simplesmente\n
\n\nNa prática: após encontrar
(Passo 2), calcule as normas
e
usando as componentes (substituindo o
já obtido), e aplique a fórmula acima.
Passo 6
Exemplo numérico rápido (para fixar a técnica):\n\nSe por exemplo, depois de resolver para
, tivéssemos
e
(vetores ortogonais), então
e
, e\n
\n\nEsse passo mostra como você vai proceder na prova: 1) encontrar
pela condição de produto escalar zero; 2) calcular as normas; 3) usar
.