Considere o valor de c da Parte 2 de modo que \vec{a} e \vec{b} sejam ortogonais. Agora tomemos os vetores \vec{a} e \vec{b} como os segmentos de reta orientados com o mesmo ponto inicial, determine então a área A do triângulo induzido por estes dois vetores com mesmo ponto inicial usando compulsoriamente o produto vetorial entre os vetores (e as fórmulas associadas a áreas paralelogramas e/ou triângulos)
Área A do triângulo = \square

Passo 1

O enunciado pede para determinar a área A do triângulo formado por dois vetores \vec{a} e \vec{b} colocados como segmentos orientados com o mesmo ponto inicial, usando obrigatoriamente o produto vetorial (e as fórmulas de área de paralelogramo/triângulo). Diz também: “Considere o valor de c da Parte 2 de modo que \vec{a} e \vec{b} sejam ortogonais.”\n\nInformações dadas no enunciado que eu tenho aqui:\n- Queremos a área do triângulo formado por \vec{a} e \vec{b} com mesmo ponto inicial;\n- Devemos usar o produto vetorial;\n- Devemos considerar c tal que \vec{a} e \vec{b} sejam ortogonais.\n\nInformação que NÃO foi fornecida (necessária para um valor numérico):\n- As componentes explícitas de \vec{a} e \vec{b} (ou seja, os valores numéricos que definem \vec{a} e \vec{b}, incluindo onde aparece c).\n\nConsequência: sem as componentes específicas de \vec{a} e \vec{b} não é possível calcular um valor numérico final para a área. Vou, então, mostrar passo a passo como resolver essa questão na prova: (1) como obter c exigindo ortogonalidade; (2) como calcular o produto vetorial; (3) como obter a área do triângulo, e (4) a simplificação que ocorre no caso ortogonal. No final dou a fórmula final que vale quando \vec{a} e \vec{b} são ortogonais.

Passo 2

Como encontrar c a partir da condição de ortogonalidade (aula rápida sobre produto interno):\n\nDefinição/fórmula útil: o produto escalar (ou interno) entre dois vetores \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) é\n \vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.\n\nPropriedade usada: dois vetores são ortogonais se e somente se o produto escalar entre eles é zero. Ou seja, \vec{u}\perp\vec{v} quando \vec{u}\cdot\vec{v}=0.\n\nAplicação ao problema: suponha que a componente que envolve c esteja em alguma posição de \vec{a} ou \vec{b}. Escreva as componentes gerais (por exemplo \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3), onde algum a_i ou b_j depende de c). A condição \vec{a}\cdot\vec{b}=0 dá uma equação linear em c:\n a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=0.\n\nResolvendo essa equação para c obtém-se o valor de c que torna os vetores ortogonais. Exemplo ilustrativo (não extraído do seu enunciado, apenas mostrando a técnica): se \vec{a}=(1,2,3) e \vec{b}=(4,c,-2), a condição é\n 1\cdot 4 + 2\cdot c + 3\cdot(-2)=0 \quad\Rightarrow\quad 4+2c-6=0 \quad\Rightarrow\quad 2c+(-2)=0 \quad\Rightarrow\quad c=1.\n\nNo seu caso, faça exatamente isso com as componentes dadas na Parte 2.

Passo 3

Como calcular o produto vetorial (aula prática):\n\nDefinição/fórmula: para \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) o produto vetorial \vec{a}\times\vec{b} é o vetor dado por\n \vec{a}\times\vec{b}=\bigl(a_2b_3-a_3b_2,\; a_3b_1-a_1b_3,\; a_1b_2-a_2b_1\bigr).\n\nExplicação do que cada coisa significa: cada componente do vetor cruzado é uma diferença de produtos cruzados das componentes originais — memorize (ou derive com determinante) essa fórmula. O produto vetorial dá um vetor perpendicular a ambos \vec{a} e \vec{b}, com direção segundo a regra da mão direita e módulo igual à área do paralelogramo formado por \vec{a} e \vec{b}.\n\nCálculo em prova: substitua as componentes conhecidas (já com c escolhido se necessário) na fórmula acima e calcule cada componente lendo cuidadosamente os sinais.

Passo 4

Como obter a magnitude do produto vetorial (módulo) e a relação com áreas:\n\nA magnitude do produto vetorial é\n \|\vec{a}\times\vec{b}\|=\sqrt{(a_2b_3-a_3b_2)^2+(a_3b_1-a_1b_3)^2+(a_1b_2-a_2b_1)^2}.\n\nInterpretação geométrica e fórmula de área: a magnitude \|\vec{a}\times\vec{b}\| é a área do paralelogramo formado pelos vetores \vec{a} e \vec{b}. Como o triângulo formado por esses vetores (com mesmo ponto inicial) tem metade da área do paralelogramo, a área A do triângulo é\n A=\tfrac{1}{2}\|\vec{a}\times\vec{b}\|.

Passo 5

Simplificação no caso ortogonal (importante para esse exercício):\n\nFórmula trigonométrica do módulo do produto vetorial: em geral\n \|\vec{a}\times\vec{b}\|=\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\,\sin\theta,\nonde \theta é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b}, e \|\vec{a}\| é o comprimento (norma) do vetor \vec{a}, dada por \|\vec{a}\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.\n\nSe \vec{a} e \vec{b} são ortogonais, então \theta=90^\circ e \sin\theta=1. Logo, para vetores ortogonais\n \|\vec{a}\times\vec{b}\|=\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|.\n\nPortanto, a área do triângulo fica simplesmente\n A=\tfrac{1}{2}\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|.\n\nNa prática: após encontrar c (Passo 2), calcule as normas \|\vec{a}\| e \|\vec{b}\| usando as componentes (substituindo o c já obtido), e aplique a fórmula acima.

Passo 6

Exemplo numérico rápido (para fixar a técnica):\n\nSe por exemplo, depois de resolver para c, tivéssemos \vec{a}=(2,0,0) e \vec{b}=(0,3,0) (vetores ortogonais), então \|\vec{a}\|=2 e \|\vec{b}\|=3, e\n A=\tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 3=3.\n\nEsse passo mostra como você vai proceder na prova: 1) encontrar c pela condição de produto escalar zero; 2) calcular as normas; 3) usar A=\tfrac{1}{2}\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|.

Resposta

A=\tfrac{1}{2}\|\vec{a}\times\vec{b}\|=\tfrac{1}{2}\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|

Exercícios relacionados