Determine o valor de
para que os vetores
e
sejam ortogonais.
Insira aqui o valor de
para ortognalidade entre os vetores.
Insira aqui o valor de
Passo 1
O enunciado pede: “Determine o valor de
para que os vetores
e
sejam ortogonais.”\n
Informações fornecidas pelo enunciado: nenhuma — o enunciado não diz quais são as componentes de e
.\n
Conclusão deste passo: falta informação essencial (as componentes dos vetores). Não podemos obter um valor numérico para sem saber onde
aparece nas componentes de
ou
.
Informações fornecidas pelo enunciado: nenhuma — o enunciado não diz quais são as componentes de
Conclusão deste passo: falta informação essencial (as componentes dos vetores). Não podemos obter um valor numérico para
Passo 2
O que significa “vetores ortogonais” (mini-aula):\n
- Dois vetores são ortogonais se formam um ângulo de
entre si. Uma maneira prática de testar isso é usar o produto escalar (dot product).\n - Definição do produto escalar: se
e , então
- Condição de ortogonalidade:
é ortogonal a se, e somente se,
Explicando: cada componente de
multiplica a componente correspondente de
e somamos tudo; para ser ortogonal essa soma deve dar zero.
Passo 3
Como usar essa condição para encontrar
(estratégia geral):\n
- Em problemas típicos
aparece em alguma componente de ou . Suponha, de forma genérica, que
e
e que
ou
dependa de
.\n
- Escrevemos o produto escalar, agrupamos os termos que não contêm
e o termo que contém . O produto escalar terá a forma
- Impomos
e resolvemos para . Ou seja, isolamos na equação linear obtida.\n - Atenção com o caso em que o coeficiente de
é zero: então ou toda a soma sem também é zero (o que torna livre — infinitas soluções) ou essa soma não é zero (o que torna impossível ter ortogonalidade).
Passo 4
Exemplo concreto (ilustrativo, para você saber resolver na prova):\n
Suponha que na prova apareça
Suponha que na prova apareça
Passo a passo:\n
- Calcular o produto escalar:
- Impor ortogonalidade:
- Resolver para
:
Comentário: se na sua prova os vetores tiverem outras entradas, faça exatamente o mesmo: calcule o produto escalar, junte os termos com e sem
, imponha igual a zero e resolva. Se o coeficiente de
sair zero, trate como expliquei no Passo 3.
Passo 5
Resumo prático para a prova (checklist rápido):\n
- Escreva
e com suas componentes.\n - Calcule
somando os produtos das componentes correspondentes.\n - Coloque a equação
.\n - Resolva essa equação para
. Verifique o caso especial em que o coeficiente de é zero.\n
Se você seguir esses passos, vai conseguir resolver qualquer exercício desse tipo na prova — e sem máquina, porque são apenas multiplicações, somas e uma divisão simples.
Resposta
Não é possível determinar o valor de
porque o enunciado não fornece as componentes de
e
.