Determine o valor de c para que os vetores \vec{a} e \vec{b} sejam ortogonais.
Insira aqui o valor de c \square para ortognalidade entre os vetores.

Passo 1

O enunciado pede: “Determine o valor de c para que os vetores \vec{a} e \vec{b} sejam ortogonais.”\n
Informações fornecidas pelo enunciado: nenhuma — o enunciado não diz quais são as componentes de \vec{a} e \vec{b}.\n
Conclusão deste passo: falta informação essencial (as componentes dos vetores). Não podemos obter um valor numérico para c sem saber onde c aparece nas componentes de \vec{a} ou \vec{b}.

Passo 2

O que significa “vetores ortogonais” (mini-aula):\n
  • Dois vetores são ortogonais se formam um ângulo de 90^\circ entre si. Uma maneira prática de testar isso é usar o produto escalar (dot product).\n
  • Definição do produto escalar: se \vec{a}=(a_1,a_2,\dots,a_n) e \vec{b}=(b_1,b_2,\dots,b_n), então
\vec{a}\cdot\vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n.
  • Condição de ortogonalidade: \vec{a} é ortogonal a \vec{b} se, e somente se,
\vec{a}\cdot\vec{b} = 0.
Explicando: cada componente de \vec{a} multiplica a componente correspondente de \vec{b} e somamos tudo; para ser ortogonal essa soma deve dar zero.

Passo 3

Como usar essa condição para encontrar c (estratégia geral):\n
  • Em problemas típicos c aparece em alguma componente de \vec{a} ou \vec{b}. Suponha, de forma genérica, que
\vec{a}=(a_1,a_2,\dots,a_k,\dots,a_n)
e
\vec{b}=(b_1,b_2,\dots,b_k,\dots,b_n),
e que a_k ou b_k dependa de c.\n
  • Escrevemos o produto escalar, agrupamos os termos que não contêm c e o termo que contém c. O produto escalar terá a forma
\vec{a}\cdot\vec{b} = (\text{soma sem }c) + (\text{coeficiente})\cdot c.
  • Impomos \vec{a}\cdot\vec{b}=0 e resolvemos para c. Ou seja, isolamos c na equação linear obtida.\n
  • Atenção com o caso em que o coeficiente de c é zero: então ou toda a soma sem c também é zero (o que torna c livre — infinitas soluções) ou essa soma não é zero (o que torna impossível ter ortogonalidade).

Passo 4

Exemplo concreto (ilustrativo, para você saber resolver na prova):\n
Suponha que na prova apareça
\vec{a}=(1,2,c) \quad\text{e}\quad \vec{b}=(3,-1,4).
Passo a passo:\n
  1. Calcular o produto escalar:
\vec{a}\cdot\vec{b} = 1\cdot 3 + 2\cdot (-1) + c\cdot 4 = 3 - 2 + 4c = 1 + 4c.\n
  1. Impor ortogonalidade:
1 + 4c = 0.\n
  1. Resolver para c:
4c = -1 \quad\Rightarrow\quad c = -\dfrac{1}{4}.\n
Comentário: se na sua prova os vetores tiverem outras entradas, faça exatamente o mesmo: calcule o produto escalar, junte os termos com e sem c, imponha igual a zero e resolva. Se o coeficiente de c sair zero, trate como expliquei no Passo 3.

Passo 5

Resumo prático para a prova (checklist rápido):\n
  • Escreva \vec{a} e \vec{b} com suas componentes.\n
  • Calcule \vec{a}\cdot\vec{b} somando os produtos das componentes correspondentes.\n
  • Coloque a equação \vec{a}\cdot\vec{b}=0.\n
  • Resolva essa equação para c. Verifique o caso especial em que o coeficiente de c é zero.\n
    Se você seguir esses passos, vai conseguir resolver qualquer exercício desse tipo na prova — e sem máquina, porque são apenas multiplicações, somas e uma divisão simples.

Resposta

Não é possível determinar o valor de c porque o enunciado não fornece as componentes de \vec{a} e \vec{b}.

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