Encontre a solução deste problema de valor inicial.
y^prime prime+y=h(t), y(0)=0, y^prime(0)=0

Passo 1

O problema dado é
Temos a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante
y''+y=h(t)
sujeita às condições iniciais
y(0)=0, y'(0)=0
O conteúdo aqui é a solução de PVI por método da função de Green (ou princípio de Duhamel).

Passo 2

Começamos resolvendo a equação homogênea associada
y''+y=0
As soluções fundamentais dessa homogênea são
cos tesin t
Logo a solução geral homogênea é
yh(t)=Acos t+Bsin t

Passo 3

Para obter uma solução particular usamos a variação de parâmetros ou a função de Green.
A resposta ao impulso da equação é a solução de
y''+y=de
e corresponde a
G(t)=sin t
Pelo princípio de Duhamel, a solução particular é a convolução de G com h:
yp(t)=integral0^tG(t-s),h(s),ds=integral0^tsin(t-s),h(s),ds

Passo 4

A solução geral do PVI é
y(t)=yh(t)+yp(t)=Acos t+Bsin t+integral0^tsin(t-s),h(s),ds
Agora aplicamos as condições iniciais:
  1. y(0)=0 implica A+0+0=0 logo A=0
  2. y'(t)= -Asin t+Bcos t+integral0^tcos(t-s),h(s),ds, então y'(0)=0 0+B+0=0 logo B=0
Portanto todos os coeficientes da parte homogênea se anulam e resta apenas a convolução.

Passo 5

A solução final do problema de valor inicial é dada por
y(t)=integral0^tsin(t-s),h(s),ds

Resposta

y(t)=integral0^tsinl(t-sr),h(s),ds

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