Encontre a solução deste problema de valor inicial.
Passo 1
O problema dado é
Temos a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante
sujeita às condições iniciais
O conteúdo aqui é a solução de PVI por método da função de Green (ou princípio de Duhamel).
Passo 2
Começamos resolvendo a equação homogênea associada
As soluções fundamentais dessa homogênea são
Logo a solução geral homogênea é
Passo 3
Para obter uma solução particular usamos a variação de parâmetros ou a função de Green.
A resposta ao impulso da equação é a solução de
e corresponde a
Pelo princípio de Duhamel, a solução particular é a convolução de
com
:
Passo 4
A solução geral do PVI é
Agora aplicamos as condições iniciais:
-
implica logo -
então dá logo
Portanto todos os coeficientes da parte homogênea se anulam e resta apenas a convolução.
Passo 5
A solução final do problema de valor inicial é dada por