Expanda as funções abaixo em séries de potências de (x-a).
f(x)=1(1+x)^2, a=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa expandir a função $ f(x) = \frac{1}{(1+x)^2} $ em uma série de potências em torno de $ a = 0 $. Isso significa que vamos reescrever a função como uma soma infinita de termos que envolvem potências de $ x $. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e a fórmula do binômio de Newton generalizado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a expansão de uma função usando séries de potências. Uma série de potências em torno de $ a = 0 $ (também chamada de série de Maclaurin) tem a forma:
a = 0
Onde $ c_k $ são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

No nosso caso, temos $ f(x) = \frac{1}{(1+x)^2} $. Para expandir essa função, podemos usar a fórmula do binômio de Newton para qualquer expoente, que nos permite expandir $ (1 + x)^n $ onde $ n $ pode ser qualquer número real.
A fórmula geral é:
f(x) = 1(1+x)^2
Onde $ \binom{n}{k} $ são os coeficientes binomiais generalizados, calculados por:
(1 + x)^n

Passo 4

Aplicando essa fórmula à nossa função, temos $ n = -2 $. Então, a expansão fica:
n = -2
Agora, vamos calcular os coeficientes $ \binom{-2}{k} $.

Passo 5

Calculando $ \binom{-2}{k} $:
binom-2k
Simplificando, temos:
binom-2k = (-2)(-2-1)(-2-2)dots(-2 - k + 1)k! = (-1)^k (k+1)1

Passo 6

Substituindo os coeficientes na série, a expansão fica:
1(1+x)^2 = sumk=0^infty (-1)^k (k+1) x^k
Isso significa que podemos escrever a função como uma soma infinita onde cada termo é $ (-1)^k (k+1) x^k $.

Resposta

A expansão em série de potências de $ f(x) = \frac{1}{(1+x)^2} $ em torno de $ a = 0 $ é:
f(x) = 1(1+x)^2

Exercícios relacionados