Expanda as funções abaixo em séries de potências de
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa expandir a função $ f(x) = \frac{1}{(1+x)^2} $ em uma série de potências em torno de $ a = 0 $. Isso significa que vamos reescrever a função como uma soma infinita de termos que envolvem potências de $ x $. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e a fórmula do binômio de Newton generalizado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a expansão de uma função usando séries de potências. Uma série de potências em torno de $ a = 0 $ (também chamada de série de Maclaurin) tem a forma:
Onde $ c_k $ são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
No nosso caso, temos $ f(x) = \frac{1}{(1+x)^2} $. Para expandir essa função, podemos usar a fórmula do binômio de Newton para qualquer expoente, que nos permite expandir $ (1 + x)^n $ onde $ n $ pode ser qualquer número real.
A fórmula geral é:
Onde $ \binom{n}{k} $ são os coeficientes binomiais generalizados, calculados por:
Passo 4
Aplicando essa fórmula à nossa função, temos $ n = -2 $. Então, a expansão fica:
Agora, vamos calcular os coeficientes $ \binom{-2}{k} $.
Passo 5
Calculando $ \binom{-2}{k} $:
Simplificando, temos:
Passo 6
Substituindo os coeficientes na série, a expansão fica:
Isso significa que podemos escrever a função como uma soma infinita onde cada termo é $ (-1)^k (k+1) x^k $.
Resposta
A expansão em série de potências de $ f(x) = \frac{1}{(1+x)^2} $ em torno de $ a = 0 $ é: