Expanda as funções abaixo em séries de potências de (x-a).
f(x)=e^-2 x, a=-1

Passo 1

O enunciado pede para expandir a função f(x)=e^-2x em série de potências de (x-a) com a=-1. Ou seja, queremos um desenvolvimento em torno de x0=-1, isto é, em potências de (x+1).

Passo 2

A ferramenta principal é a série de Taylor centrada em a:
A fórmula geral é
$$
f(x)=
\sum_{n=0}^{\infty}
\frac{f{(n)}(a)}{n!},(x-a)n
$$
No nosso caso, f(x)= sumn=0^infty f^(n)(a)n!,(x-a)^n . Como a derivada de f(x)=e^-2x é sempre do tipo e^-2x, temos
f^(n)(x)=(-2)^n e^-2x

Passo 3

Substituindo na série de Taylor com a=-1 (ou seja, x-a=x+1), obtemos
f(x)= sumn=0^infty (-2)^n e^2n!,(x+1)^n = e^2sumn=0^infty(-2)^nn!(x+1)^n

Resposta

f(x)=e^2sumn=0^infty(-2)^nn!(x+1)^n.

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