Encontre a solução da EDO com condições iniciais.
y^prime prime+4 y=0, y(0)=0, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 4y = 0
sujeita às condições iniciais e . O que precisamos usar é o método da equação característica para encontrar a solução geral e depois ajustar as constantes pela condições iniciais.

Passo 2

Para aplicar o método da equação característica, assumimos r^2 + 4 = 0, . Substituindo na EDO obtemos a equação
r = pm 2,i
cuja solução são as raízes complexas

Passo 3

Como as raízes são complexas conjugadas y(x) = C1cos(2x) + C2sin(2x), , a solução geral da EDO é
onde e (C_{2}$ são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Aplicamos as condições iniciais:
  1. De y(0) = C1cos(0) + C2sin(0) = C1cdot 1 + C2cdot 0 = C1 = 0 vem
y'(x) = -2C1sin(2x) + 2C2cos(2x)
  1. Primeiro derivamos y'(0) = -2C1sin(0) + 2C2cos(0) = 0 + 2C2cdot1 = 2C2 = 0 :
Em a condição
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Resposta

A solução que satisfaz as condições iniciais é
y(x) equiv 0

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