Encontre a solução da EDO com condições iniciais.
y^prime prime-2 y^prime+5 y=0, y(pi / 2)=0, y^prime(pi / 2)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e aplicar condições iniciais. Vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Formamos a equação característica associada à EDO:
r^2 - 2r + 5 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática: o discriminante é De, logo as raízes são
r = 2 pm raiz-162 = 1 pm 2,i

Passo 4

Como as raízes são complexas conjugadas 1 pm 2i, a solução geral da EDO é
y(x) = e^xl(Acos(2x) + Bsin(2x)r)

Passo 5

Para impor as condições iniciais, primeiro calculamos a derivada:
y'(x) = e^xl(Acos(2x) + Bsin(2x)r) + e^xl(-2Asin(2x)+2Bcos(2x)r)

Passo 6

Podemos agrupar termos em cos(2x) e sin(2x):
y'(x) = e^xl((A+2B)cos(2x) + (B-2A)sin(2x)r)

Passo 7

Agora aplicamos as condições iniciais em x = pi/2:
  1. y(pi/2)=0 implica
e^pi/2l(Acos(pi) + Bsin(pi)r) = 0 implies -A,e^pi/2=0 implies A=0
  1. y'(pi/2)=0 implica
e^pi/2(- (A+2B)) = 0 implies A + 2B = 0

Passo 8

Como A=0, segue B=0. Portanto não há outra constante livre. Com A = B = 0, a solução geral reduz-se à solução trivial. A única solução que satisfaz ambas as condições iniciais é a solução trivial.

Resposta

y(x) = 0

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