Todas as questões devem ter suas justificativas através de conceitos vistos em sala.
Seja f: R times R R definida por f(x, y)=x e^x^2-y^2. Determine:
A derivada direcional de f no ponto de domínio (1,1) e na direção do v=(4,-3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para achar a derivada direcional da função $ f(x, y) = x e{x{2} - y^{2}} $ no ponto f(x, y) = x e^x^2 - y^2 na direção do vetor (1,1). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e gradiente.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função $ f(x, y) $. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Ou seja,
f(x, y)
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a $ x $:
nabla f(x, y) = ( partial fpartial x, partial fpartial y )
Usando a regra do produto:
x
  1. Derivada parcial em relação a $ y $:
partial fpartial x = partialpartial x ( x e^x^2 - y^2 )
Como $ x $ é tratado como constante em relação a $ y $:
partial fpartial x = e^x^2 - y^2 + x cdot e^x^2 - y^2 cdot 2x = e^x^2 - y^2 (1 + 2x^2)
Então, o gradiente é:
y

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto (1,1):
  1. Substituindo $ x = 1 $ e $ y = 1 $ na primeira componente:
x = 1
  1. Substituindo $ x = 1 $ e $ y = 1 $ na segunda componente:
y = 1
Portanto, o gradiente no ponto e^1^2 - 1^2 (1 + 2 cdot 1^2) = e^0 cdot 3 = 1 cdot 3 = 3 é:
x = 1

Passo 4

Agora, precisamos encontrar um vetor unitário na direção de v = (4, -3). Isso porque, para calcular a derivada direcional, usamos o gradiente e um vetor de direção com comprimento 1. Para isso, vamos normalizar v:
|v| = raiz4^2 + (-3)^2 = raiz16 + 9 = raiz25 = 5
Então, o vetor unitário u na direção de v é:
u = ( 45, -35 )

Passo 5

Finalmente, a derivada direcional $ D_{\vec{u}} f $ é o produto escalar do gradiente no ponto com o vetor unitário na direção de Du f :
v
Calculando o produto escalar:
Du f = nabla f(1,1) cdot u = (3, -2) cdot ( 45, -35 )

Resposta

A derivada direcional de $ f $ no ponto f na direção de (1,1) é 3,6.

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