Todas as questões devem ter suas justificativas através de conceitos vistos em sala.
Seja
definida por
. Determine:
A derivada direcional de
no ponto de domínio
e na direção do
.
Seja
A derivada direcional de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para achar a derivada direcional da função $ f(x, y) = x e{x{2} - y^{2}} $ no ponto
na direção do vetor
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e gradiente.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função $ f(x, y) $. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Ou seja,
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada parcial em relação a $ x $:
Usando a regra do produto:
- Derivada parcial em relação a $ y $:
Como $ x $ é tratado como constante em relação a $ y $:
Então, o gradiente é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto
:
- Substituindo $ x = 1 $ e $ y = 1 $ na primeira componente:
- Substituindo $ x = 1 $ e $ y = 1 $ na segunda componente:
Portanto, o gradiente no ponto
é:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar um vetor unitário na direção de
. Isso porque, para calcular a derivada direcional, usamos o gradiente e um vetor de direção com comprimento 1. Para isso, vamos normalizar
:
Então, o vetor unitário
na direção de
é:
Passo 5
Finalmente, a derivada direcional $ D_{\vec{u}} f $ é o produto escalar do gradiente no ponto com o vetor unitário na direção de
:
Calculando o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional de $ f $ no ponto
na direção de
é 3,6.