Utilize transformada de Laplace para determinar a solução dos PVIs :
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equações diferenciais usando a Transformada de Laplace. O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais:
Para resolver isso, vamos precisar aplicar a Transformada de Laplace na equação e usar as condições iniciais para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Onde $ Y(s) $ é a Transformada de Laplace de $ y(t) $.
Passo 3
Aplicando a Transformada de Laplace na equação original:
Substituindo as transformadas das derivadas:
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores das condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 6 $:
Simplificando:
Passo 5
Vamos agrupar os termos com $ Y(s) $:
Agora, isolamos $ Y(s) $:
Passo 6
Vamos simplificar o denominador. Observe que $ s^2 - 6s + 9 $ é um quadrado perfeito:
Então:
Passo 7
Agora, precisamos encontrar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar $ y(t) $. Sabemos que:
No nosso caso, $ a = 3 $, então:
Resposta
A solução da equação diferencial dada é: