Utilize transformada de Laplace para determinar a solução dos PVIs :
l y^prime prime-6 y^prime+9 y=0 y(0)=0, y^prime(0)=6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equações diferenciais usando a Transformada de Laplace. O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais:
y'' - 6y' + 9y = 0 y(0) = 0, y'(0) = 6
Para resolver isso, vamos precisar aplicar a Transformada de Laplace na equação e usar as condições iniciais para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Ly' = sY(s) - y(0)
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
Onde $ Y(s) $ é a Transformada de Laplace de $ y(t) $.

Passo 3

Aplicando a Transformada de Laplace na equação original:
Ly'' - 6Ly' + 9Ly = L0
Substituindo as transformadas das derivadas:
[s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)] - 6[s Y(s) - y(0)] + 9 Y(s) = 0

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores das condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 6 $:
y(0) = 0
Simplificando:
y'(0) = 6

Passo 5

Vamos agrupar os termos com $ Y(s) $:
Y(s)
Agora, isolamos $ Y(s) $:
Y(s)(s^2 - 6s + 9) = 6

Passo 6

Vamos simplificar o denominador. Observe que $ s^2 - 6s + 9 $ é um quadrado perfeito:
s^2 - 6s + 9
Então:
s^2 - 6s + 9 = (s - 3)^2

Passo 7

Agora, precisamos encontrar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar $ y(t) $. Sabemos que:
y(t)
No nosso caso, $ a = 3 $, então:
L^-11(s - a)^2 = t e^a t

Resposta

A solução da equação diferencial dada é:
y(t) = 6 t e^3 t

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