Resolva o problema de valor inicial

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem um problema de valor inicial, que faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais. Basicamente, queremos encontrar uma função $ y(x) $ cuja derivada seja $ \frac{dy}{dx} = 4x^3 + 2x $ e que passe pelo ponto $ y(1) = 4 $. Para resolver isso, vamos precisar integrar a expressão da derivada e depois usar a condição inicial para encontrar a constante de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se temos a derivada de uma função, para encontrar a função original $ y(x) $, precisamos integrar a derivada. Nesse caso, a derivada é $ \frac{dy}{dx} = 4x^3 + 2x $.
Então, vamos integrar cada termo separadamente:
y(x)

Passo 3

Vamos integrar cada termo:
  1. Integrando $ 4x^3 $:
4x^3
  1. Integrando $ 2x $:
integral 4x^3 , dx = 4 cdot x^44 = x^4
Então, juntando tudo, temos:
2x
onde $ C $ é a constante de integração que precisamos determinar.

Passo 4

Agora, vamos usar a condição inicial $ y(1) = 4 $ para encontrar o valor de $ C $.
Substituindo $ x = 1 $ e $ y = 4 $ na equação:
y(1) = 4
Simplificando:
C
x = 1
y = 4
4 = (1)^4 + (1)^2 + C

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(x) = x^4 + x^2 + 2

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