Resolva o problema de valor inicial
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem um problema de valor inicial, que faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais. Basicamente, queremos encontrar uma função $ y(x) $ cuja derivada seja $ \frac{dy}{dx} = 4x^3 + 2x $ e que passe pelo ponto $ y(1) = 4 $. Para resolver isso, vamos precisar integrar a expressão da derivada e depois usar a condição inicial para encontrar a constante de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se temos a derivada de uma função, para encontrar a função original $ y(x) $, precisamos integrar a derivada. Nesse caso, a derivada é $ \frac{dy}{dx} = 4x^3 + 2x $.
Então, vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 3
Vamos integrar cada termo:
- Integrando $ 4x^3 $:
- Integrando $ 2x $:
Então, juntando tudo, temos:
onde $ C $ é a constante de integração que precisamos determinar.
Passo 4
Agora, vamos usar a condição inicial $ y(1) = 4 $ para encontrar o valor de $ C $.
Substituindo $ x = 1 $ e $ y = 4 $ na equação:
Simplificando:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: