Calcule a integral iterada, usando coordenadas esféricas ou cilíndricas.
integral0^2 integral0^raiz4-y integralraizx^2+y^2^raiz8-x-y z^2 d z d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada\n\n\n\ndado por
I=integral0^2integral0^raiz4-y^2integralraizx^2+y^2^raiz8 - x^2 - y^2z^2,dz,dx,dy,
otem que os limites em x e em z definem uma região E no primeiro octante que está acima do cone z=raizx^2+y^2 e abaixo da esfera x^2+y^2+z^2=8, com projeção no plano xy sendo o quarto de disco de raio 2.\n\nConteúdo: superfícies esféricas e coordenadas esféricas.

Passo 2

Para resolver vamos usar coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas definimos
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi,
com rho>=0, 0<=phi<=pi, 0<=theta<2pi. O jacobiano é rho^2sinphi.

Passo 3

A região E é descrita por três condições:
  1. Primeiro octante: 0<=theta<=tfracpi2.
  2. Acima do cone z=raizx^2+y^2 rhocosphi=rhosinphi ou phi=tfracpi4. Como estamos acima desse cone, 0<=phi<=tfracpi4.
  3. Abaixo da esfera x^2+y^2+z^2=8 rho<=raiz8=2raiz2.
    Portanto

Passo 4

os limites ficam
0<=theta<=tfracpi2, 0<=phi<=tfracpi4, 0<=rho<=2raiz2

Passo 5

O integrando z^2,dV em esféricas é ((\rho\cos\phi){2}\cdot(\rho{2}\sin\phi),d\rho,d\phi,d\theta = \rho{4}\cos{2}\phi\sin\phi,d\rho,d\phi,d\theta.]

Passo 6

Agora integramos em rho:
integral0^2raiz2rho^4,drho = l[rho^55r]0^2raiz2=(2raiz2)^55=128raiz25

Passo 7

A integral total se torna
$$I=\int_{0}{\pi/2}!d\theta;\int_{0}{\pi/4}!\cos^{2}\phi\sin\phi,d\phi;\times\frac{128\sqrt2}{5}.
I=integral0^pi/2!dtheta;integral0^pi/4!cos^2phisinphi,dphi;times128raiz25 á\int_{0}{\pi/4}\cos{2}\phi\sin\phi,d\phi = -\int_{u(0)=1}{u(\pi/4)=\frac{\sqrt2}{2}}u{2},du = \int_{\frac{\sqrt2}{2}}{1}u{2},du = \Bigl[\frac{u{3}}{3}\Bigr]_{\frac{\sqrt2}{2}}{1} = \frac{1}{3}\Bigl(1-\Bigl(\frac{\sqrt2}{2}\Bigr)^{3}\Bigr) = \frac{1}{3}\Bigl(1-\frac{\sqrt2}{4}\Bigr)=\frac{4-\sqrt2}{12}.$$

Passo 8

Juntando tudo:
$$I=\frac{128\sqrt2}{5}\cdot\frac{\pi}{2}\cdot\frac{4-\sqrt2}{12} = \frac{128\sqrt2,\pi,(4-\sqrt2)}{120} = \frac{16\sqrt2,\pi,(4-\sqrt2)}{15}.
$$

Resposta

I=16raiz2,pi,(4-raiz2)15

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