Calcule a integral iterada, usando coordenadas esféricas ou cilíndricas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral iterada\n\n\n\ndado por
otem que os limites em
Passo 2
Para resolver vamos usar coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas definimos
com
Passo 3
A região E é descrita por três condições:
- Primeiro octante:
. - Acima do cone
dá ou . Como estamos acima desse cone, . - Abaixo da esfera
dá .
Portanto
Passo 4
os limites ficam
Passo 5
O integrando
em esféricas é ((\rho\cos\phi){2}\cdot(\rho{2}\sin\phi),d\rho,d\phi,d\theta = \rho{4}\cos{2}\phi\sin\phi,d\rho,d\phi,d\theta.]
Passo 6
Agora integramos em
:
Passo 7
A integral total se torna
$$I=\int_{0}{\pi/2}!d\theta;\int_{0}{\pi/4}!\cos^{2}\phi\sin\phi,d\phi;\times\frac{128\sqrt2}{5}.
Passo 8
Juntando tudo:
$$I=\frac{128\sqrt2}{5}\cdot\frac{\pi}{2}\cdot\frac{4-\sqrt2}{12} = \frac{128\sqrt2,\pi,(4-\sqrt2)}{120} = \frac{16\sqrt2,\pi,(4-\sqrt2)}{15}.
$$