Considere a EDO
y^prime prime-(2 x+1)x y^prime+2x y=0 x>0
(1,5)(b) Encontre a solução geral da EDO.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
y'' - 2x+1x y' + 2xy = 0,
que é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes variáveis. Vamos precisar identificar uma solução particular simples (por exemplo, do tipo expoencial) e depois usar a fórmula de redução de ordem para obter a segunda solução e montar a solução geral.

Passo 2

Uma boa estratégia é testar uma solução do tipo y=e^lambda x. Substituindo na EDO:
y'=lambda e^lambda x, y''=lambda^2 e^lambda x,
lambda^2 e^lambda x - 2x+1x(lambda e^lambda x) + 2xe^lambda x = 0
Dividindo por e^lambda x e reorganizando, obtemos uma parte constante e uma parte em 1/x. Para anular a dependência em x, precisamos que o coeficiente de 1/x seja zero, o que leva a lambda=2. E nesse caso a parte constante também zerará, confirmando que
y1(x)=e^2x
é uma solução da EDO.

Passo 3

Para achar a segunda solução, aplicamos a fórmula de redução de ordem. Numa EDO da forma
y'' + p(x)y' + q(x)y = 0,
a segunda solução pode ser escrita como
y2 = y1(x) integral e^-integral p(x),dxy1(x)^2,dx
Aqui temos
p(x) = -2x+1x,
então
integral p(x),dx = integrall(-2 - 1xr)dx = -2x - ln x,
e^-integral p(x)dx = e^2x + ln x = x e^2x
Substituindo em
y2 = e^2x integral x e^2x(e^2x)^2,dx = e^2x integral x e^-2x ,dx

Passo 4

Calculamos o integral por partes: seja
u = x, dv = e^-2xdx, então
du = dx e
$$v = \int e^{-2x}dx = -\tfrac12 e^{-2x}.
v = integral e^-2xdx = -tfrac12 e^-2x
\int x e^{-2x}dx = -\tfrac12 x e^{-2x} + \tfrac12 \int e^{-2x}dx = -\tfrac12 x e^{-2x} - \tfrac14 e^{-2x} + C.
integral x e^-2xdx = -tfrac12 x e^-2x + tfrac12 integral e^-2xdx = -tfrac12 x e^-2x - tfrac14 e^-2x + C
y_2 = e^{2x}\Bigl(-\tfrac12 x e^{-2x} - \tfrac14 e^{-2x}\Bigr) = -\tfrac12 x - \tfrac14 = -\tfrac{3x+1}{4}.
y2
y_2(x) = (3x+1)e^{-x}.
$$

Passo 5

A solução geral é a combinação linear das duas soluções independentes:
y(x) = C1 e^2x + C2(3x+1)e^-x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_1 e{2x}+C_2(3x+1)e{-x}

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