Considere a EDO
Encontre a solução geral da EDO.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO
que é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes variáveis. Vamos precisar identificar uma solução particular simples (por exemplo, do tipo expoencial) e depois usar a fórmula de redução de ordem para obter a segunda solução e montar a solução geral.
Passo 2
Uma boa estratégia é testar uma solução do tipo
. Substituindo na EDO:
Dividindo por
e reorganizando, obtemos uma parte constante e uma parte em
. Para anular a dependência em
, precisamos que o coeficiente de
seja zero, o que leva a
. E nesse caso a parte constante também zerará, confirmando que
é uma solução da EDO.
Passo 3
Para achar a segunda solução, aplicamos a fórmula de redução de ordem. Numa EDO da forma
a segunda solução pode ser escrita como
Aqui temos
então
Substituindo em
Passo 4
Calculamos o integral por partes: seja
, então
e
$$v = \int e^{-2x}dx = -\tfrac12 e^{-2x}.
\int x e^{-2x}dx = -\tfrac12 x e^{-2x} + \tfrac12 \int e^{-2x}dx = -\tfrac12 x e^{-2x} - \tfrac14 e^{-2x} + C.
y_2 = e^{2x}\Bigl(-\tfrac12 x e^{-2x} - \tfrac14 e^{-2x}\Bigr) = -\tfrac12 x - \tfrac14 = -\tfrac{3x+1}{4}.
y_2(x) = (3x+1)e^{-x}.
$$
Passo 5
A solução geral é a combinação linear das duas soluções independentes:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Resposta
y(x)=C_1 e{2x}+C_2(3x+1)e{-x}