Questão 1. (20 pontos) Seja
a função que representa o maior inteiro menor ou igual a
. Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 3 da função $ 3 + \frac{[[x]]}{2} $. Aqui, $ [[x]] $ representa a função piso, que dá o maior número inteiro menor ou igual a $ x $. Então, precisamos entender como essa função se comporta perto de $ x = 3 $ para encontrar o limite.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função piso ($ [[x]] $). Ela pega um número real e retorna o maior inteiro que não é maior que esse número. Por exemplo, $ [[2.7]] = 2 $ e $ [[3]] = 3 $. Agora, para calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 3, precisamos considerar de que lado $ x $ está vindo: pela esquerda (números menores que 3) ou pela direita (números maiores que 3).
Passo 3
Vamos calcular o limite pela esquerda, ou seja, quando $ x $ se aproxima de 3 indo por valores menores que 3 ($ x \to 3^- $).
Quando $ x $ estiver um pouquinho menor que 3, como 2.9 ou 2.99, a função piso vai dar 2, porque 2 é o maior inteiro menor que esses valores. Então, substituindo na função:
Portanto, o limite pela esquerda é 4.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite pela direita, ou seja, quando $ x $ se aproxima de 3 vindo de valores maiores que 3 ($ x \to 3^+ $).
Quando $ x $ estiver um pouquinho maior que 3, como 3.1 ou 3.01, a função piso vai dar 3, porque 3 é o maior inteiro menor que esses valores. Substituindo na função:
Então, o limite pela direita é 4.5.
Resposta
Como o limite pela esquerda é 4 e o limite pela direita é 4.5, eles não são iguais. Portanto, o limite $ \lim _{x \rightarrow 3} 3+\frac{[[x]]}{2} $ não existe.