Encontre a solução das EDO’s lineares abaixo.
y^prime+2 y=6

Passo 1

O enunciado pede a solução da EDO linear de 1ª ordem com coeficientes constantes
y' + 2y = 6
Reconhecemos que está na forma padrão
y' + p(x),y = q(x),
com p(x)=2 e q(x)=6. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
mu(x) = e^integral p(x),dx = e^integral 2,dx = e^2x

Passo 3

Multiplicamos a EDO por mu(x):
e^2xy' + 2e^2xy = 6e^2x
O lado esquerdo é a derivada do produto e^2xy, pois
ddxl(e^2xyr) = e^2xy' + 2e^2xy
Logo a equação vira
ddxl(e^2xyr) = 6e^2x

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddxl(e^2xyr),dx = integral 6e^2x,dx
e^2xy = 6cdote^2x2 + C = 3e^2x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolamos y:
y = 3e^2x + Ce^2x = 3 + Ce^-2x

Resposta

A solução geral da EDO é
y(x) = 3 + Ce^-2x,
onde C é uma constante arbitrária.

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