Encontre a solução das EDO’s lineares abaixo.
y^prime-y=sin (x)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear de primeira ordem y' - y = sin(x). O conteúdo envolve o método do fator integrante para equações diferenciais lineares.

Passo 2

Identificamos na forma padrão y'+p(x)y=q(x) que
p(x)=-1, q(x)=sin(x)
O fator integrante é
mu(x)=expl(integral p(x),dxr)=expl(integral -1,dxr)=e^-x

Passo 3

Multiplicando a equação original por mu(x), fica
e^-xy' - e^-xy = e^-xsin(x) Longrightarrow ddxl(e^-xyr)=e^-xsin(x)

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddxl(e^-xyr),dx =integral e^-xsin(x),dx
Usando a fórmula
integral e^axsin(bx),dx =e^axa^2+b^2l(asin(bx)-bcos(bx)r)+C,
com a=-1, b=1, obtemos
integral e^-xsin(x),dx =-e^-x2l(sin(x)+cos(x)r)+C

Passo 5

Temos então
e^-xy=-tfrac12,e^-xl(sin(x)+cos(x)r)+C
e, multiplicando por e^x,
y = -tfrac12l(sin(x)+cos(x)r) + C,e^x

Resposta

A solução geral da EDO é
y(x)=C,e^x-tfrac12l(sin(x)+cos(x)r),
onde C é a constante de integração.

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