Encontre a solução dos problemas de valor inicial a seguir.
y^prime+5 y=10, y(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y' + 5y = 10, y(0)=2,
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Identificamos p(t)=5. O fator integrante é dado por
mu(t)=e^integral p(t),dt=e^integral5,dt=e^5t

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(t):
e^5ty' + 5e^5ty = 10e^5t
O lado esquerdo é a derivada do produto e^5ty, pois
ddtl(e^5tyr)=e^5ty' + 5e^5ty

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
integral ddtl(e^5tyr),dt = integral 10e^5t,dt Longrightarrow e^5ty = 2e^5t + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolamos y:
y = 2 + Ce^-5t

Passo 6

Usamos a condição inicial y(0)=2:
2 = 2 + C e^0Longrightarrow C=0
Logo, a solução do problema é
y(t)=2

Resposta

y(t)=2

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