Encontre a solução das EDO’s lineares abaixo.
y^prime+y=e^-x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem
y' + y = e^-x
Aqui o conteúdo é EDO linear e vamos usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
mu(x) = e^integral 1,dx = e^x
Multiplicamos ambos os lados da EDO por mu(x), ficando
e^x y' + e^x y = e^x cdot e^-x
O lado esquerdo é exatamente a derivada de e^x y.

Passo 3

Reconhecendo que
ddxl(e^x yr) = e^x y' + e^x y,
a equação passa a ser
ddxl(e^x yr) = 1
Integramos ambos os lados em relação a x:
e^x y = integral 1,dx = x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Isolamos y dividindo por e^x:
y = (x + C),e^-x

Resposta

y(x) = (x + C),e^-x,
onde C é constante arbitrária.

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