Encontre a solução das EDO’s lineares abaixo.
y^prime-4 y=8

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de primeira ordem
y' - 4y = 8
Aqui o conteúdo é “EDO linear com coeficientes constantes” e vamos usar o fator integrante para encontrar a solução geral.

Passo 2

Escrevendo a EDO na forma padrão
y' + p(x),y = q(x),
vemos que p(x) = -4 e q(x) = 8. O fator integrante é
mu(x) = e^integral p(x),dx = e^integral -4,dx = e^-4x

Passo 3

Multiplicamos a EDO original por mu(x)=e^-4x:
e^-4xy' - 4e^-4xy = 8e^-4x
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto y,e^-4x, ou seja
ddxl(y,e^-4xr) = 8e^-4x

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
y,e^-4x = integral 8e^-4x,dx = 8cdotl(-tfrac14 e^-4xr) + C = -2e^-4x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Para encontrar y, basta isolar:
y = -2 + C,e^4x

Resposta

y(x) = C,e^4x - 2,
com C constante de integração.

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