Encontre a solução das EDOs lineares, por meio do método do fator integrante.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de primeira ordem
3.5,y' + l(3 + 1xr)y = e^-3xx
Usaremos o método do fator integrante, que é o conteúdo principal aqui.

Passo 2

Primeiro colocamos a EDO na forma padrão y' + P(x)y = Q(x). Dividindo tudo por 3.5 (ou tfrac72) temos
y' + gl(3 + tfrac1x3.5gr)y = e^-3xxcdot13.5
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P(x) = 3 + 1x3.5 = 67 + 27x, Q(x) = 27,e^-3xx

Passo 3

O fator integrante é
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(integral l(tfrac67 + tfrac27xr)dxr) = expl(tfrac6x7 + tfrac27ln|x|r) = x^tfrac27e^tfrac6x7

Passo 4

Multiplicando a EDO original por mu(x) obtemos uma derivada exata:
ddxl(mu(x)yr) = mu(x),Q(x) = x^tfrac27e^tfrac6x7cdot27,e^-3xx = 27x^-tfrac57e^-tfrac15x7

Passo 5

Agora integramos ambos os lados:
mu(x)y = integral 27x^-tfrac57e^-tfrac15x7,dx + C
Para avaliar o integral, fazemos a troca de variável t=tfrac15x7, de modo que
integral x^-tfrac57e^-tfrac15x7dx = l(tfrac715r)^1-tfrac57integral t^-tfrac57e^-tdt = l(tfrac715r)^tfrac27,Gammal(tfrac27,tr) = l(tfrac715r)^tfrac27,Gammal(tfrac27,tfrac15x7r)
Incluindo o fator tfrac27 e o constante de integração, fica
mu(x)y = 27l(tfrac715r)^tfrac27Gammal(tfrac27,tfrac15x7r) + C

Passo 6

Por fim, isolamos y usando y = mu^-1(x) e simplificamos constantes para escrever a solução geral:

Resposta

y(x) = x^-tfrac27e^-tfrac6x7gl(C + 215l(157r)^tfrac57,Gammal(tfrac27,tfrac15x7r)gr)

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