Encontre a solução das EDOs lineares, por meio do método do fator integrante.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO linear de primeira ordem
3.4 y′ + \frac{2}{x^2−1} y = \frac{x+1}{x−1}
usando o método do fator integrante. Vamos precisar lembrar que uma EDO linear na forma y′ + p(x) y = q(x) é resolvida pelo fator integrante μ(x)=e^{∫p(x)dx}.
3.4 y′ + \frac{2}{x^2−1} y = \frac{x+1}{x−1}
usando o método do fator integrante. Vamos precisar lembrar que uma EDO linear na forma y′ + p(x) y = q(x) é resolvida pelo fator integrante μ(x)=e^{∫p(x)dx}.
Passo 2
Primeiro colocamos a equação na forma padrão y′ + p(x)y = q(x). Dividindo tudo por 3.4 temos
Podemos simplificar as constantes: 2/3.4 = 10/17 e 1/3.4 = 5/17, ficando
Passo 3
Agora calculamos o fator integrante μ(x)=e^{∫p(x)dx} com p(x)=10/[17(x^2−1)]. Primeiro
Usando a decomposição 1/(x^2−1)=½[1/(x−1)−1/(x+1)] obtemos
e portanto
Logo
Passo 4
Multiplicamos agora a ODE original por μ(x). O lado esquerdo vira derivada do produto μy, e o direito fica μ(x)q(x):
Passo 5
Integramos ambos os lados em x:
Passo 6
Finalmente, isolamos y dividindo por μ(x):
Resposta
A solução geral é
onde C é constante arbitrária.