Encontre a solução das EDOs lineares, por meio do método do fator integrante.
3.4 y^prime+2x^2-1 y=x+1x-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de primeira ordem
3.4 y′ + \frac{2}{x^2−1} y = \frac{x+1}{x−1}
usando o método do fator integrante. Vamos precisar lembrar que uma EDO linear na forma y′ + p(x) y = q(x) é resolvida pelo fator integrante μ(x)=e^{∫p(x)dx}.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão y′ + p(x)y = q(x). Dividindo tudo por 3.4 temos
y + underbrace23.4,(x^2−1)p(x),y = underbracex+13.4,(x−1)q(x)
Podemos simplificar as constantes: 2/3.4 = 10/17 e 1/3.4 = 5/17, ficando
y + 1017,(x^2−1),y = 5,(x+1)17,(x−1)

Passo 3

Agora calculamos o fator integrante μ(x)=e^{∫p(x)dx} com p(x)=10/[17(x^2−1)]. Primeiro
∫p(x)dx = 1017∫1x^2−1dx
Usando a decomposição 1/(x^2−1)=½[1/(x−1)−1/(x+1)] obtemos
∫1x^2−1dx = 12lngl|x−1x+1gr|
e portanto
∫p(x)dx = 1017·12lnl|tfracx−1x+1r| = 517lnl|tfracx−1x+1r|
Logo
μ(x) = expl(tfrac517lnl|tfracx−1x+1r|r) = l(x−1x+1r)^5/17

Passo 4

Multiplicamos agora a ODE original por μ(x). O lado esquerdo vira derivada do produto μy, e o direito fica μ(x)q(x):
(μy)' = μ(x),q(x) = l(x−1x+1r)^5/17·5,(x+1)17,(x−1) = 517l(x+1x−1r)^12/17

Passo 5

Integramos ambos os lados em x:
μ(x),y = integral (μy)',dx = integral 517l(x+1x−1r)^12/17dx + C

Passo 6

Finalmente, isolamos y dividindo por μ(x):
y(x) = 1μ(x)gl[C + 517integral l(x+1x−1r)^12/17dxgr] = l(x+1x−1r)^5/17gl[C + 517integral l(x+1x−1r)^12/17dxgr]

Resposta

A solução geral é
y(x) = l(x+1x−1r)^5/17gl[C + 517integral l(x+1x−1r)^12/17,dxgr],
onde C é constante arbitrária.

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