Encontre a solução das EDOs lineares, por meio do método do fator integrante.
ld id t+RL i=EL i(0)=i0

Passo 1

Temos a EDO linear de 1ª ordem
didt + RL,i = EL
com condição inicial i(0)=i0. O conteúdo é equações diferenciais lineares de 1ª ordem e vamos usar o método do fator integrante, que exige calcular mu(t)=e^integral P(t),dt.

Passo 2

Identificamos na forma padrão didt + P(t)i = Q(t) que
P(t)=RL, Q(t)=EL
Logo, o fator integrante é
mu(t)=e^integral RL,dt=e^(R/L)t

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(t) para obter um produto derivada:
e^(R/L)tdidt + e^(R/L)tRLi = ELe^(R/L)t ; Longrightarrow ddtl(i(t)e^(R/L)tr) = ELe^(R/L)t

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em relação a t. No lado esquerdo fica a primitiva da derivada completa, e no direito integramos o exponencial:
integral ddtl(i e^(R/L)tr),dt = integral ELe^(R/L)t,dt
Isso resulta em
i(t)e^(R/L)t = ELcdotLRe^(R/L)t + C = ERe^(R/L)t + C

Passo 5

Dividindo por e^(R/L)t e aplicando i(0)=i0 temos
i(t) = ER + Ce^-(R/L)t,
com
i0 = ER + C Longrightarrow C = i0 - ER
Logo, a solução particular é dada por:

Passo 6

Substituindo C na expressão de i(t) obtemos a resposta final:

Resposta

i(t) = ER + l(i0 - ERr)e^-RLt.

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