Mostre que a equação é homogênea e encontre a solução
- a. (
\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}+3 y^{2}}{2 x y}
\quad R: x{2}+y{2}=c x^{3}
\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}+3 y^{2}}{2 x y}
\quad R: x{2}+y{2}=c x^{3}
Passo 1
Temos a equação diferencial
. O conteúdo é equações diferenciais homogêneas: vamos mostrar que o lado direito é função homogênea de grau zero e, em seguida, usar a substituição
.
Passo 2
O lado direito é
. Se multiplicarmos
por um escalar
, temos
Como
, a função é homogênea de grau zero.
Passo 3
Fazendo a troca
, temos
Substituindo na equação original,
$$
u + x\frac{du}{dx}=\frac{1+3u^2}{2u}.$$
Passo 4
Isolando
:
Passo 5
Agora separamos variáveis:
Integrando ambos os lados:
levando a
Passo 6
Voltando à variável
, lembre que
. Então
. Multiplicando por
, obtemos
o que é a solução geral.
Resposta
x^2 + y^2 = C x^3