Mostre que a equação é homogênea e encontre a solução
  • a. (
    \frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}+3 y^{2}}{2 x y}
    \quad R: x{2}+y{2}=c x^{3}

Passo 1

Temos a equação diferencial dydx = x^2+3y^22xy. O conteúdo é equações diferenciais homogêneas: vamos mostrar que o lado direito é função homogênea de grau zero e, em seguida, usar a substituição y = ux.

Passo 2

O lado direito é f(x,y)=x^2+3y^22xy. Se multiplicarmos (x,y) por um escalar t, temos
f(tx,ty)=(t x)^2+3(t y)^22(t x)(t y)=t^2(x^2+3y^2)2t^2xy=x^2+3y^22xy=f(x,y)
Como f(tx,ty)=f(x,y), a função é homogênea de grau zero.

Passo 3

Fazendo a troca y=ux, temos
dydx=u+xdudx
Substituindo na equação original,
$$
u + x\frac{du}{dx}=\frac{1+3u^2}{2u}.$$

Passo 4

Isolando xdudx:
xdudx=1+3u^22u-u=1+3u^2-2u^22u=1+u^22u

Passo 5

Agora separamos variáveis:
2u1+u^2,du=dxx
Integrando ambos os lados:
integral 2u1+u^2,du=integral dxx
levando a
ln(1+u^2)=ln|x|+C

Passo 6

Voltando à variável y, lembre que u=y/x. Então 1+(y/x)^2=Cx. Multiplicando por x^2, obtemos
x^2+y^2=Cx^3,
o que é a solução geral.

Resposta

x^2 + y^2 = C x^3

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