Encontre a solução das EDOs lineares, por meio do método do fator integrante.
3.6 y^prime+[cotg(x)] y=sec ^2(x) cdot cossec(x)

Passo 1

Estamos lidando com a EDO linear de primeira ordem
3.6,y' + cot(x),y = sec^2(x),csc(x)
ou seja, do tipo y' + p(x)y = q(x). Para resolver, vamos usar o método do fator integrante: colocar em forma padrão, achar mu(x), multiplicar, integrar e isolar y.

Passo 2

Dividimos a equação por 3.6 para ficar na forma padrão
y' + cot(x)3.6,y = sec^2(x),csc(x)3.6
Assim identificamos
p(x)=cot(x)3.6, q(x)=sec^2(x),csc(x)3.6

Passo 3

O fator integrante é
mu(x)=expl(integral p(x),dxr)=expl(tfrac13.6integralcot(x),dxr)=expl(tfrac13.6ln|sin(x)|r)=sin^13.6(x)=sin^518(x)

Passo 4

Multiplicamos toda a equação padrão por mu(x). O lado esquerdo se reconhece como derivada de mu(x)y:
ddxl[sin^518(x),yr]=13.6,sin^518(x),sec^2(x),csc(x)

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
sin^518(x),y=13.6integralsin^518(x),sec^2(x),csc(x),dx + C

Passo 6

Por fim isolamos y dividindo por sin^tfrac518(x), obtendo a solução em quadratura:

Resposta

y(x)=sin^-tfrac518(x)l(C+tfrac13.6integralsin^tfrac518(x),sec^2(x),csc(x),dxr)

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