Encontre a solução das EDOs separáveis.
(3.4\left{ l1y^2-1 d y=1x^2-1 d x y(2)=2 \quad R: \frac{y-1}{y+1}=\frac{x-1}{x+1}\right.

Passo 1

Vamos resolver a EDO separável
Temos
1y^2-1,dy = 1x^2-1,dx
com condição inicial y(2)=2. O conteúdo é EDOs separáveis e vamos precisar de decomposição em frações parciais para integrar cada lado.

Passo 2

O segredo é escrever cada lado em frações mais simples. Por exemplo,
1y^2-1 = 12l(1y-1 - 1y+1r)
1x^2-1 = 12l(1x-1 - 1x+1r)
Agora integramos ambos os lados:
integral 1y^2-1,dy = 12lnl|y-1y+1r|, integral 1x^2-1,dx = 12lnl|x-1x+1r|

Passo 3

Igualando as integrais e incluindo constante C, temos
12lnl|y-1y+1r| = 12lnl|x-1x+1r| + C
Multiplicando por 2 e exponenciando, define-se K = e^2C e obtemos a solução geral:
y-1y+1 = K,x-1x+1

Passo 4

Para achar K, usamos a condição inicial y(2)=2:
2-12+1 = K2-12+1 implies 13 = K13 implies K=1

Resposta

Substituindo K=1, a solução particular é
y-1y+1 = x-1x+1

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