Encontre a solução das EDOs separáveis.
(3.1
\omega^{\prime}=(\omega-2)(\omega-3)
\quad R: \omega(t)=\frac{3-2 k e^{t}}{1-k e^{t}}

Passo 1

O enunciado pede pra resolver a EDO separável omega'=(omega-2)(omega-3). O conteúdo é EDOs separáveis, então vamos separar variáveis e integrar cada lado.

Passo 2

Separamos as variáveis escrevendo
domega(omega-2)(omega-3) = dt
Agora precisamos decompor a fração em partes mais simples.

Passo 3

Usando frações parciais, achamos
1(omega-2)(omega-3) = 1omega-3 - 1omega-2
Integramos ambos os lados:
integralgl(1omega-3 - 1omega-2gr)domega = integral dt
Isso gera
ln|omega-3| - ln|omega-2| = t + C

Passo 4

Exponenciando e chamando k=e^C, fica
omega-3omega-2 = k e^t
Finalmente isolamos omega:
omega-3 = k e^t (omega-2) Rightarrow omega(1 - k e^t) = 3 - 2k e^t
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omega(t) = 3 - 2k e^t1 - k e^t

Resposta

omega(t)=3-2k e^t1-k e^t

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