Encontre a solução das EDOs separáveis.
(3.6\left{
\quad R: \quad y=\frac{e^{-1-\frac{1}{x}}}{x}\right.
(3.6\left{
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO separável
com condição inicial
. Vamos usar separação de variáveis e integração para encontrar a solução geral e depois determinar a constante pelo dado inicial.
Passo 2
Primeiro a gente isola as variáveis: todos os termos em
com
ficam de um lado e os termos em
com
do outro. Já está assim, mas podemos reescrever o lado de
como soma de frações:
Passo 3
Agora integramos ambos os lados:
No lado esquerdo temos
. No direito:
Logo
Passo 4
Para simplificar, somamos
aos dois lados:
Então
e exponenciando:
Chamamos
de
(que pode ser positivo) e tiramos o valor absoluto pela constante de sinal, ficando
Passo 5
Por fim, aplicamos a condição inicial
. Substituindo
e
na expressão acima:
Logo a solução particular é
Resposta
y = \displaystyle \frac{e^{-1 - \frac{1}{x}}}{x}