Encontre a solução das EDOs separáveis.
(3.6\left{ l1y d y=1-xx^2 d x y(-1)=-1 \quad R: \quad y=\frac{e^{-1-\frac{1}{x}}}{x}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO separável
1y,dy = 1 - xx^2,dx
com condição inicial y(-1) = -1. Vamos usar separação de variáveis e integração para encontrar a solução geral e depois determinar a constante pelo dado inicial.

Passo 2

Primeiro a gente isola as variáveis: todos os termos em y com dy ficam de um lado e os termos em x com dx do outro. Já está assim, mas podemos reescrever o lado de x como soma de frações:
1 - xx^2 = 1x^2 - 1x

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral 1y,dy = integral l(1x^2 - 1xr),dx
No lado esquerdo temos ln|y|. No direito:
integral 1x^2,dx = -1x,
integral 1x,dx = ln|x|
Logo
ln|y| = -1x - ln|x| + C

Passo 4

Para simplificar, somamos ln|x| aos dois lados:
ln|y| + ln|x| = -1x + C
Então
ln|xy| = -1x + C
e exponenciando:
|xy| = e^C e^-1x
Chamamos e^C de K (que pode ser positivo) e tiramos o valor absoluto pela constante de sinal, ficando
xy = K e^-1x

Passo 5

Por fim, aplicamos a condição inicial y(-1) = -1. Substituindo x=-1 e y=-1 na expressão acima:
(-1)(-1) = K e^-1-1 Longrightarrow 1 = K e^1 Longrightarrow K = e^-1
Logo a solução particular é
y = K e^-1/xx = e^-1 e^-1/xx = e^-1 - 1/xx

Resposta

y = \displaystyle \frac{e^{-1 - \frac{1}{x}}}{x}

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