Encontre a solução das EDOs separáveis.
(3.12 \frac{d x}{d t}=x^{2}-2 x+2 \quad R: \quad x(t)=1+\operatorname{tg}(t+c)
(3.12 \frac{d x}{d t}=x^{2}-2 x+2 \quad R: \quad x(t)=1+\operatorname{tg}(t+c)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO separável abaixo e mostrar que a solução geral é
:
Conteúdo: separação de variáveis e integração usando arco-tangente.
Passo 2
Primeiro, completamos o quadrado no denominador. Observamos que:
Isso facilita a integração, pois lembra a derivada de
.
Passo 3
Agora separamos as variáveis. Escrevemos:
Passo 4
Integrando ambos os lados: o lado esquerdo é a integral de
que é
, e o direito é
mais constante. Logo:
Passo 5
Para isolar
, aplicamos a tangente em cada membro:
Assim,