Encontre a solução das EDOs separáveis.
(3.12 \frac{d x}{d t}=x^{2}-2 x+2 \quad R: \quad x(t)=1+\operatorname{tg}(t+c)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO separável abaixo e mostrar que a solução geral é x(t)=1+tan(t+c):
dxdt=x^2-2x+2
Conteúdo: separação de variáveis e integração usando arco-tangente.

Passo 2

Primeiro, completamos o quadrado no denominador. Observamos que:
x^2-2x+2=(x-1)^2+1
Isso facilita a integração, pois lembra a derivada de arctan.

Passo 3

Agora separamos as variáveis. Escrevemos:
dx(x-1)^2+1=dt

Passo 4

Integrando ambos os lados: o lado esquerdo é a integral de 1/[(x-1)^2+1] que é arctan(x-1), e o direito é t mais constante. Logo:
integraldx(x-1)^2+1=integral dt Longrightarrow arctan(x-1)=t+C

Passo 5

Para isolar x, aplicamos a tangente em cada membro:
x-1=tan(t+C)
Assim,
x(t)=1+tan(t+C)

Resposta

x(t)=1+tan(t+c)

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