Um terreno tem a forma de um triângulo retângulo de catetos 100 me 200 m . Deseja-se construir neste terreno um supermercado de forma retangular com maior área possível. Qual é a área máxima a ser construída?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um terreno em forma de triângulo retângulo com catetos de 100 metros e 200 metros. A parada é construir um supermercado retangular dentro desse terreno, e queremos descobrir qual é a área máxima que esse retângulo pode ter. Vamos usar conceitos de geometria, especificamente de otimização de áreas dentro de figuras geométricas.
Passo 2
Primeiro, imagina o triângulo retângulo com os catetos medindo 100 m e 200 m. Queremos inscrever um retângulo dentro desse triângulo de forma que um dos lados do retângulo fique na base do triângulo (de 200 m) e o outro lado esteja tocando o outro cateto (de 100 m). Isso nos ajuda a visualizar como o retângulo se ajusta dentro do triângulo.
Passo 3
Vamos chamar a largura do retângulo de
metros (paralela ao cateto de 200 m) e a altura de
metros (paralela ao cateto de 100 m). Sabemos que conforme
aumenta,
diminui, e vice-versa, por causa das inclinações do triângulo. Precisamos relacionar
e
para expressar a área do retângulo em termos de uma única variável.
Passo 4
Para relacionar
e
, observamos as proporções dos lados do triângulo. A inclinação do triângulo nos dá que:
Isso significa que
.
Passo 5
Agora, a área
do retângulo é dada por:
Substituindo
por
:
Para encontrar a área máxima, precisamos considerar que
não pode exceder os 200 m e
não pode exceder os 100 m. A área máxima ocorre quando o retângulo ocupa a maior parte possível do triângulo, ou seja, quando
m e
m. Mas, na verdade, a área máxima interna será metade disso devido às proporções.
Então, a área máxima é:
Resposta
A área máxima que pode ser construída é de
.