Um terreno tem a forma de um triângulo retângulo de catetos 100 me 200 m . Deseja-se construir neste terreno um supermercado de forma retangular com maior área possível. Qual é a área máxima a ser construída?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um terreno em forma de triângulo retângulo com catetos de 100 metros e 200 metros. A parada é construir um supermercado retangular dentro desse terreno, e queremos descobrir qual é a área máxima que esse retângulo pode ter. Vamos usar conceitos de geometria, especificamente de otimização de áreas dentro de figuras geométricas.

Passo 2

Primeiro, imagina o triângulo retângulo com os catetos medindo 100 m e 200 m. Queremos inscrever um retângulo dentro desse triângulo de forma que um dos lados do retângulo fique na base do triângulo (de 200 m) e o outro lado esteja tocando o outro cateto (de 100 m). Isso nos ajuda a visualizar como o retângulo se ajusta dentro do triângulo.

Passo 3

Vamos chamar a largura do retângulo de metros (paralela ao cateto de 200 m) e a altura de metros (paralela ao cateto de 100 m). Sabemos que conforme aumenta, diminui, e vice-versa, por causa das inclinações do triângulo. Precisamos relacionar e para expressar a área do retângulo em termos de uma única variável.

Passo 4

Para relacionar yx = 100200 = 12 e , observamos as proporções dos lados do triângulo. A inclinação do triângulo nos dá que:
Isso significa que .

Passo 5

Agora, a área A = x times y do retângulo é dada por:
A = x times x2 = x^22
Substituindo Amáx = 200 times 1004 = 5000 , m^2 por :
Para encontrar a área máxima, precisamos considerar que não pode exceder os 200 m e não pode exceder os 100 m. A área máxima ocorre quando o retângulo ocupa a maior parte possível do triângulo, ou seja, quando m e m. Mas, na verdade, a área máxima interna será metade disso devido às proporções.
Então, a área máxima é:
á

Resposta

A área máxima que pode ser construída é de .

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