Encontre a solução da equação abaixo:
t theta^prime=raiz1-theta^2

Passo 1

A equação dada é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e separável: t θ′ = √(1−θ²). Vamos precisar de conhecimento sobre separação de variáveis e integrais básicas, em particular integral dθraiz1−θ^2.

Passo 2

Primeiro reescrevemos a equação isolando dθdt:
dθdt=raiz1−θ^2t

Passo 3

Agora aplicamos o método de separação de variáveis, isto é, colocamos todos os termos em θ de um lado e os de t do outro:
dθraiz1−θ^2=dtt

Passo 4

Em seguida, integramos ambos os lados:
integral dθraiz1−θ^2=integral dtt

Passo 5

Na teoria de integrais, sabemos que integral dθraiz1−θ^2=arcsin(θ)+C1 e integral dtt=ln|t|+C2. Juntando constantes de integração em uma só, obtemos:
arcsin(θ)=ln|t|+C

Passo 6

Por fim, aplicamos a função seno nos dois lados para isolar θ:
θ(t)=sinl(ln|t|+Cr)

Passo 7

Podemos ainda reescrever a constante C de forma conveniente, mas essa é a forma geral da solução.

Resposta

θ(t)=sinl(ln|t|+Cr), onde C é constante de integração.

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