A série seguinte converge ou diverge?
sumn=1^infty 3^nn^3 2^n

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
sumn=1^infty 3^nn^3,2^n
converge ou diverge.
O conteúdo é teste de convergência de séries de termos positivos e vamos usar o teste da razão de D’Alembert, que diz que se
L = limntoinfty an+1an
existe e L>1, então a série diverge.

Passo 2

Seja
an = 3^nn^3,2^n
Calculamos a razão
an+1an = 3^,n+1(n+1)^32^,n+13^nn^32^n = 3^n+13^n;n^3(n+1)^3;2^n2^n+1 = 32;n^3(n+1)^3

Passo 3

Tomando o limite quando ntoinfty, temos
L=limntoinftyan+1an =32;limntoinftyl(nn+1r)^3 =32times 1 =32>1
Como L>1, o teste da razão nos diz que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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