Usando as regras de derivação calcule
para as seguintes funções e simplifique o resultado, se possível:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada
da função dada e simplificar o resultado, se possível. A função fornecida é
Informações relevantes que temos:
- A função é o produto de duas expressões:
e . - Precisa-se de
(derivada em relação a ) e da forma simplificada dessa derivada.
Passo 2
Qual regra usar? Aqui a função é produto de duas partes, então usamos a regra do produto. Vou apresentar a regra e explicar o que cada coisa significa.
Regra do produto (fórmula):
Explicação: se
e
são funções de
, então a derivada do produto
é a soma de duas parcelas: a derivada de
vezes
mais
vezes a derivada de
. Nesta fórmula:
-
e são funções de ; -
significa (derivada de em relação a ); -
significa .
Também usamos a regra da potência (composição), para derivar
:
Aqui
é um número (neste caso
),
é a função interna (aqui
) e
é a derivada dessa função interna.
Passo 3
Identificar
e
e calcular as derivadas parciais:
Escolho
Escolho
Calcular
:
Calcular
usando a regra da potência com
e
:
Como
, fica
Passo 4
Aplicar a regra do produto
:
Substituindo
:
Ou seja,
Passo 5
Agora simplificar a expressão. Fator comum: o menor expoente em
é
, então fatoro
:
Note que
, então
Colocando em um único quociente dentro do colchete:
Portanto
Escrevendo com expoente positivo no denominador:
Se quiser em forma radical, lembrando que
, então