Usando as regras de derivação calcule d y / d x para as seguintes funções e simplifique o resultado, se possível:
y=x \sqrt[4]{x+2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada \dfrac{d y}{d x} da função dada e simplificar o resultado, se possível. A função fornecida é
y = x \sqrt[4]{x+2}.
Informações relevantes que temos:
  • A função é o produto de duas expressões: x e \sqrt[4]{x+2}.
  • Precisa-se de \dfrac{d y}{d x} (derivada em relação a x) e da forma simplificada dessa derivada.

Passo 2

Qual regra usar? Aqui a função é produto de duas partes, então usamos a regra do produto. Vou apresentar a regra e explicar o que cada coisa significa.
Regra do produto (fórmula):
(uv)' = u'v + uv'.
Explicação: se u e v são funções de x, então a derivada do produto u(x)v(x) é a soma de duas parcelas: a derivada de u vezes v mais u vezes a derivada de v. Nesta fórmula:
  • u e v são funções de x;
  • u' significa \dfrac{d u}{d x} (derivada de u em relação a x);
  • v' significa \dfrac{d v}{d x}.
Também usamos a regra da potência (composição), para derivar \sqrt[4]{x+2}=(x+2)^{1/4}:
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)^{n}\bigr)=n\,u(x)^{n-1}\,u'(x).
Aqui n é um número (neste caso n=\tfrac{1}{4}), u(x) é a função interna (aqui u(x)=x+2) e u'(x) é a derivada dessa função interna.

Passo 3

Identificar u e v e calcular as derivadas parciais:
Escolho
u(x)=x,\qquad v(x)=(x+2)^{1/4}.
Calcular u'(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}(x)=1.
Calcular v'(x) usando a regra da potência com u(x)=x+2 e n=\tfrac{1}{4}:
v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl((x+2)^{1/4}\bigr)=\frac{1}{4}(x+2)^{-3/4}\cdot\frac{d}{dx}(x+2).
Como \dfrac{d}{dx}(x+2)=1, fica
v'(x)=\frac{1}{4}(x+2)^{-3/4}.

Passo 4

Aplicar a regra do produto (uv)'=u'v+uv':
\frac{d y}{d x}=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Substituindo u,u',v,v':
\frac{d y}{d x}=1\cdot (x+2)^{1/4} + x\cdot\frac{1}{4}(x+2)^{-3/4}.
Ou seja,
\frac{d y}{d x}=(x+2)^{1/4}+\frac{x}{4}(x+2)^{-3/4}.

Passo 5

Agora simplificar a expressão. Fator comum: o menor expoente em (x+2)^{\alpha} é -\tfrac{3}{4}, então fatoro (x+2)^{-3/4}:
\frac{d y}{d x}=(x+2)^{-3/4}\Bigl[(x+2)^{1/4-(-3/4)}+\frac{x}{4}\Bigr].
Note que 1/4-(-3/4)=1, então
\frac{d y}{d x}=(x+2)^{-3/4}\Bigl[(x+2)+\frac{x}{4}\Bigr].
Colocando em um único quociente dentro do colchete:
(x+2)+\frac{x}{4}=\frac{4(x+2)+x}{4}=\frac{5x+8}{4}.
Portanto
\frac{d y}{d x}=(x+2)^{-3/4}\cdot\frac{5x+8}{4}=\frac{5x+8}{4}(x+2)^{-3/4}.
Escrevendo com expoente positivo no denominador:
\frac{d y}{d x}=\frac{5x+8}{4\,(x+2)^{3/4}}.
Se quiser em forma radical, lembrando que (x+2)^{3/4}=\sqrt[4]{(x+2)^{3}}, então
\frac{d y}{d x}=\frac{5x+8}{4\,\sqrt[4]{(x+2)^{3}}}.

Resposta

\frac{d y}{d x}=\frac{5x+8}{4\,(x+2)^{3/4}}

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