Encontre a solução da equação diferencial dada.
\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}}{1+y^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}}{1+y^{2}}
e pede para encontrar a solução (a família de soluções gerais). Informações relevantes:
  • A equação relaciona a derivada de y com x e y.
  • Não há condição inicial fornecida, então devemos obter a solução geral com uma constante de integração.
  • Note que 1+y^{2}>0 para todo y, portanto não existe problema em multiplicar por 1+y^{2}.

Passo 2

Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis x e y (isto é, colocar todos os termos com y num lado e todos os termos com x no outro). Isso é permitido porque podemos multiplicar ambos os lados por 1+y^{2} e por dx. Fazendo isso obtemos
(1+y^{2})\,dy = x^{2}\,dx.
Explicando devagar: a ideia de separar é obter uma igualdade da forma g(y)\,dy = h(x)\,dx, para então integrar cada lado em sua variável. Aqui g(y)=1+y^{2} e h(x)=x^{2}.

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação às suas variáveis. Vamos lembrar das integrais básicas que usamos:
  • \displaystyle\int 1\,dy = y.
  • \displaystyle\int y^{2}\,dy = \frac{y^{3}}{3}.
  • \displaystyle\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.
Aplicando as integrais:
\int (1+y^{2})\,dy = \int x^{2}\,dx
\Rightarrow \; y + \frac{y^{3}}{3} = \frac{x^{3}}{3} + C,
onde C é a constante de integração (um número real arbitrário que será ajustado se for dada uma condição inicial).

Passo 4

Podemos reescrever a solução num formato um pouco mais limpo multiplicando por 3:
y^{3} + 3y = x^{3} + C',
onde C'=3C é outra constante arbitrária. Essa igualdade define a solução de forma implícita: para cada x o valor de y é tal que satisfaz essa relação cúbica.
Observação importante: resolver explicitamente para y em termos de x exige resolver uma equação cúbica (aplicando fórmula de Cardano), o que gera uma expressão complicada. Em problemas de prova normalmente a forma implícita
y + \frac{y^{3}}{3} = \frac{x^{3}}{3} + C
é aceita como solução geral.

Passo 5

Verificação rápida por diferenciação implícita (para ganhar confiança): derivando a expressão
y + \frac{y^{3}}{3} = \frac{x^{3}}{3} + C
em relação a x, usando que C é constante, obtemos
\left(1+y^{2}\right)\frac{dy}{dx} = x^{2}.
Isolando \dfrac{dy}{dx} recuperamos exatamente a equação original:
\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}}{1+y^{2}}.
Portanto a solução implícita está correta.
Nota sobre condições iniciais: se for dada uma condição do tipo y(x_{0})=y_{0}, basta substituir x=x_{0} e y=y_{0} na expressão implícita para determinar o valor da constante C.

Passo 6

Um exemplo concreto: se y(0)=1, então substituindo em y + \dfrac{y^{3}}{3} = \dfrac{x^{3}}{3} + C com x=0 e y=1 obtém-se
1 + \frac{1^{3}}{3} = 0 + C \quad\Rightarrow\quad C=\frac{4}{3},
logo a solução implícita com essa condição inicial é
y + \frac{y^{3}}{3} = \frac{x^{3}}{3} + \frac{4}{3}.

Resposta

y + \frac{y^{3}}{3} = \frac{x^{3}}{3} + C

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