Encontre a solução da equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para encontrar a solução (a família de soluções gerais). Informações relevantes:
- A equação relaciona a derivada de
com e . - Não há condição inicial fornecida, então devemos obter a solução geral com uma constante de integração.
- Note que
para todo , portanto não existe problema em multiplicar por .
Passo 2
Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis
e
(isto é, colocar todos os termos com
num lado e todos os termos com
no outro). Isso é permitido porque podemos multiplicar ambos os lados por
e por
. Fazendo isso obtemos
Explicando devagar: a ideia de separar é obter uma igualdade da forma
, para então integrar cada lado em sua variável. Aqui
e
.
Passo 3
Integramos ambos os lados em relação às suas variáveis. Vamos lembrar das integrais básicas que usamos:
-
. -
. -
.
Aplicando as integrais:
onde
é a constante de integração (um número real arbitrário que será ajustado se for dada uma condição inicial).
Passo 4
Podemos reescrever a solução num formato um pouco mais limpo multiplicando por
:
onde
é outra constante arbitrária. Essa igualdade define a solução de forma implícita: para cada
o valor de
é tal que satisfaz essa relação cúbica.
Observação importante: resolver explicitamente para
em termos de
exige resolver uma equação cúbica (aplicando fórmula de Cardano), o que gera uma expressão complicada. Em problemas de prova normalmente a forma implícita
é aceita como solução geral.
Passo 5
Verificação rápida por diferenciação implícita (para ganhar confiança): derivando a expressão
em relação a
, usando que
é constante, obtemos
Isolando
recuperamos exatamente a equação original:
Portanto a solução implícita está correta.
Nota sobre condições iniciais: se for dada uma condição do tipo
, basta substituir
e
na expressão implícita para determinar o valor da constante
.
Passo 6
Um exemplo concreto: se
, então substituindo em
com
e
obtém-se
logo a solução implícita com essa condição inicial é