Encontre a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada.
\frac{d y}{d x}=x e^{y}, y(0)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e uma condição inicial. As informações são:
\displaystyle \frac{d y}{d x}=x e^{y}.
A condição inicial é \displaystyle y(0)=0.
O que o problema pede: encontrar a solução y(x) da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada.

Passo 2

Vamos identificar uma propriedade útil da equação para poder resolvê‑la. Observando a expressão do lado direito, \displaystyle x e^{y}, vemos que é produto de uma função de x (que é x) por uma função de y (que é e^{y}). Quando a equação tem a forma
\frac{dy}{dx}=f(x)\,g(y),
dizemos que ela é separável: podemos “separar” os termos que dependem de y para um lado e os que dependem de x para o outro. Aqui isso é possível porque \displaystyle e^{y}\neq 0 para todo y, então podemos dividir por e^{y} sem problema.

Passo 3

Faço a separação de variáveis: divido ambos os lados por \displaystyle e^{y} e multiplico por dx. Isso dá
e^{-y}\,dy = x\,dx.
Explicando: \displaystyle e^{-y} é simplesmente \displaystyle 1/e^{y}. Agora integro ambos os lados em relação às suas variáveis correspondentes.

Passo 4

Integro os dois lados:
\int e^{-y}\,dy = \int x\,dx.
Calculo as integrais passo a passo. Para a integral à esquerda, conhecemos que a primitiva de \displaystyle e^{-y} em relação a y é \displaystyle -e^{-y}, porque ao derivar \displaystyle -e^{-y} pelo teorema da cadeia obtemos \displaystyle e^{-y}. Para a integral à direita, a primitiva de \displaystyle x é \displaystyle \tfrac{x^{2}}{2}. Assim
- e^{-y} = \frac{x^{2}}{2} + C,
onde \displaystyle C é a constante de integração (obtida combinando as constantes das duas primitivas).

Passo 5

Isolo \displaystyle e^{-y}. Multiplicando por -1 obtemos
e^{-y} = -\frac{x^{2}}{2} + C_{1},
onde renomeei a constante por \displaystyle C_{1}. Agora uso a condição inicial para determinar \displaystyle C_{1}. Substituo x=0 e y(0)=0:
e^{0}=1 = -\frac{0^{2}}{2} + C_{1} \quad\Rightarrow\quad C_{1}=1.
Portanto
e^{-y} = 1 - \frac{x^{2}}{2}.

Passo 6

Agora resolvo para y. Tomando logaritmo natural dos dois lados (lembrando que isso só faz sentido quando o argumento do log é positivo), obtenho
-\,y = \ln\!\left(1 - \frac{x^{2}}{2}\right).
Logo
y(x) = -\ln\!\left(1 - \frac{x^{2}}{2}\right).
Aqui devo comentar sobre domínio: para que o logaritmo esteja definido precisamos de
1 - \frac{x^{2}}{2} > 0 \quad\Rightarrow\quad x^{2} < 2 \quad\Rightarrow\quad |x|<\sqrt{2}.
Então a solução com a condição inicial está definida no intervalo onde |x|<\sqrt{2}.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas útil na prova): calculo \displaystyle \frac{dy}{dx} a partir da solução e vejo se retorna \displaystyle x e^{y}. Derivando \displaystyle y(x) = -\ln\!\left(1 - \tfrac{x^{2}}{2}\right) obtemos
\frac{dy}{dx} = -\frac{-x}{1-\tfrac{x^{2}}{2}} = \frac{x}{1-\tfrac{x^{2}}{2}}.
Por outro lado, e^{y} = e^{-\ln(1-\tfrac{x^{2}}{2})} = \dfrac{1}{1-\tfrac{x^{2}}{2}}. Assim
x e^{y} = \frac{x}{1-\tfrac{x^{2}}{2}},
que coincide com \displaystyle \frac{dy}{dx}. A solução satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.

Resposta

\displaystyle y(x) = -\ln\!\left(1 - \frac{x^{2}}{2}\right),\quad |x|<\sqrt{2}

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