Encontre a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e uma condição inicial. As informações são:
.
A condição inicial é .
O que o problema pede: encontrar a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada.
A condição inicial é
O que o problema pede: encontrar a solução
Passo 2
Vamos identificar uma propriedade útil da equação para poder resolvê‑la. Observando a expressão do lado direito,
, vemos que é produto de uma função de
(que é
) por uma função de
(que é
). Quando a equação tem a forma
dizemos que ela é separável: podemos “separar” os termos que dependem de
para um lado e os que dependem de
para o outro. Aqui isso é possível porque
para todo
, então podemos dividir por
sem problema.
Passo 3
Faço a separação de variáveis: divido ambos os lados por
e multiplico por
. Isso dá
Explicando:
é simplesmente
. Agora integro ambos os lados em relação às suas variáveis correspondentes.
Passo 4
Integro os dois lados:
Calculo as integrais passo a passo. Para a integral à esquerda, conhecemos que a primitiva de
em relação a
é
, porque ao derivar
pelo teorema da cadeia obtemos
. Para a integral à direita, a primitiva de
é
. Assim
onde
é a constante de integração (obtida combinando as constantes das duas primitivas).
Passo 5
Isolo
. Multiplicando por
obtemos
onde renomeei a constante por
. Agora uso a condição inicial para determinar
. Substituo
e
:
Portanto
Passo 6
Agora resolvo para
. Tomando logaritmo natural dos dois lados (lembrando que isso só faz sentido quando o argumento do log é positivo), obtenho
Logo
Aqui devo comentar sobre domínio: para que o logaritmo esteja definido precisamos de
Então a solução com a condição inicial está definida no intervalo onde
.
Passo 7
Verificação rápida (opcional, mas útil na prova): calculo
a partir da solução e vejo se retorna
. Derivando
obtemos
Por outro lado,
. Assim
que coincide com
. A solução satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.