Encontre a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada.
x^{2} y^{\prime}=k \operatorname{sec} y, y(1)=\frac{\pi}{6}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e uma condição inicial. Precisamos encontrar a função y(x) que satisfaz:
x^{2}y' = k\operatorname{sec} y,
com a condição inicial
y(1)=\frac{\pi}{6}.
Informações relevantes:
  • A variável independente é x e a dependente é y(x).
  • Há uma constante k no enunciado (tratamos k como parâmetro).
  • A equação envolve \operatorname{sec} y, que é \operatorname{sec} y = \dfrac{1}{\cos y}.
  • A condição inicial fixa o valor de y em x=1.
    O objetivo é encontrar a solução explícita y(x) que satisfaça a equação e a condição inicial.

Passo 2

Colocar a equação em forma que permita separar variáveis. Primeiro escrevo y' como \dfrac{dy}{dx} e uso \operatorname{sec} y=\dfrac{1}{\cos y}:
x^{2}\frac{dy}{dx}=k\operatorname{sec} y = \frac{k}{\cos y}.
Isolando \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}=\frac{k}{x^{2}}\cdot\frac{1}{\cos y}.
Agora separo as variáveis colocando todos os termos com y num lado e os com x no outro:
\cos y\,dy = k\,x^{-2}\,dx.
Explicação curta sobre separação: uma equação é separável quando podemos escrever \dfrac{dy}{dx}=g(x)h(y) e então rearranjar para h(y)\,dy = g(x)\,dx. Aqui h(y)=\cos y e g(x)=k x^{-2}.

Passo 3

Integral das duas parcelas separadas. Integro ambos os lados em relação às suas variáveis:
\int \cos y\,dy = \int k x^{-2}\,dx.
Calculo as integrais:
  • \int \cos y\,dy = \sin y + C_1 porque a derivada de \sin y é \cos y.
  • \int k x^{-2}\,dx = k\int x^{-2}\,dx = k\left(-\frac{1}{x}\right) + C_2 porque \int x^{-2}dx = -x^{-1}.
    Juntando e absorvendo constantes num só C (isto é, C=C_2-C_1):
\sin y = -\frac{k}{x} + C.
Aqui C é a constante de integração geral.

Passo 4

Determinar a constante C usando a condição inicial y(1)=\frac{\pi}{6}. Primeiro calculo \sin do valor inicial:
\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}.
Substituo x=1 e y=\frac{\pi}{6} na expressão \sin y = -\dfrac{k}{x}+C:
\frac{1}{2} = -\frac{k}{1} + C \quad\Rightarrow\quad C = \frac{1}{2} + k.
Substituo C de volta na solução implícita:
\sin y = -\frac{k}{x} + \left(\frac{1}{2}+k\right).
Faço uma simplificação:
\sin y = \frac{1}{2} + k\!\left(1-\frac{1}{x}\right).
Outra forma equivalente é \sin y = \dfrac{1}{2} + k\,\dfrac{x-1}{x}.

Passo 5

Isolar y. Para obter y(x) aplico a função inversa do seno, o arco seno. Como queremos a solução que satisfaz y(1)=\frac{\pi}{6}, escolhemos a rama do \arcsin contínua em torno de x=1 que dá \arcsin\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{\pi}{6}. Assim:
y(x)=\arcsin\!\left(\frac{1}{2}+k\!\left(1-\frac{1}{x}\right)\right).
Observações importantes para a prova e uso correto:
  • A solução vale para x\neq 0 (a equação original tem x^{2} no denominador quando escrita como \dfrac{dy}{dx}).
  • O argumento do \arcsin deve permanecer no intervalo [-1,1] para que a solução real exista; isto impõe restrições sobre x e k (por exemplo, suficientemente próximo de x=1 a condição é segura se k não for gigantesco).
  • Escolhemos a rama do \arcsin que satisfaz a condição inicial para garantir que a solução é a correta e contínua em torno de x=1.

Resposta

y(x)=\arcsin\!\left(\dfrac{1}{2}+k\!\left(1-\dfrac{1}{x}\right)\right)

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