Encontre a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e uma condição inicial. Precisamos encontrar a função
que satisfaz:
com a condição inicial
Informações relevantes:
- A variável independente é
e a dependente é . - Há uma constante
no enunciado (tratamos como parâmetro). - A equação envolve
, que é . - A condição inicial fixa o valor de
em .
O objetivo é encontrar a solução explícitaque satisfaça a equação e a condição inicial.
Passo 2
Colocar a equação em forma que permita separar variáveis. Primeiro escrevo
como
e uso
:
Isolando
:
Agora separo as variáveis colocando todos os termos com
num lado e os com
no outro:
Explicação curta sobre separação: uma equação é separável quando podemos escrever
e então rearranjar para
. Aqui
e
.
Passo 3
Integral das duas parcelas separadas. Integro ambos os lados em relação às suas variáveis:
Calculo as integrais:
-
porque a derivada de é . -
porque .
Juntando e absorvendo constantes num só(isto é, ):
Aqui
é a constante de integração geral.
Passo 4
Determinar a constante
usando a condição inicial
. Primeiro calculo
do valor inicial:
Substituo
e
na expressão
:
Substituo
de volta na solução implícita:
Faço uma simplificação:
Outra forma equivalente é
.
Passo 5
Isolar
. Para obter
aplico a função inversa do seno, o arco seno. Como queremos a solução que satisfaz
, escolhemos a rama do
contínua em torno de
que dá
. Assim:
Observações importantes para a prova e uso correto:
- A solução vale para
(a equação original tem no denominador quando escrita como ). - O argumento do
deve permanecer no intervalo para que a solução real exista; isto impõe restrições sobre e (por exemplo, suficientemente próximo de a condição é segura se não for gigantesco). - Escolhemos a rama do
que satisfaz a condição inicial para garantir que a solução é a correta e contínua em torno de .