Resolva a equação diferencial.
Passo 1
O enunciado pede: resolver a equação diferencial
Informações dadas:
- A equação relaciona a derivada de
em relação a com e . - Não foi dada nenhuma condição inicial, então devemos encontrar a solução geral (com constante arbitrária).
- Não há figuras ou tabelas; todos os dados estão no enunciado acima.
Passo 2
Escolha do método (explicação didática): vamos observar a forma da equação
Uma equação é separável quando podemos escrever os termos que dependem de
multiplicando os termos que dependem de
, de modo que seja possível “separar” as variáveis em lados diferentes da igualdade. Aqui os fatores dependem multiplicativamente: o lado direito é um produto de uma função só de
—
— por uma função só de
—
. Portanto podemos separar as variáveis.
Passo 3
Separação das variáveis: dividimos ambos os lados por
(que é sempre positivo, então não trocamos sinal) e multiplicamos por
, obtendo
Explicação da operação: estamos isolando os termos com
no lado esquerdo e os termos com
no lado direito para poder integrar cada lado em sua própria variável.
Passo 4
Integração dos dois lados: agora integramos ambos os lados em relação às suas variáveis.
A integral do lado esquerdo é a integral de em
. Uma fórmula básica de integrais diz que a primitiva de
é
, porque
. Aplicando isso com
temos
A integral do lado esquerdo é a integral de
Do lado direito, a integral de
em
é simples: a primitiva de
é
, então a primitiva de
é
. Logo
Passo 5
Juntando as primitivas: ao integrar os dois lados podemos reunir as constantes. Assim
Subtraindo
dos dois lados e definindo uma constante única
(constante arbitrária qualquer), obtemos
Explicação sobre a constante: ao integrar cada lado aparece uma constante; combinamos essas constantes em uma única constante geral
porque só importa a diferença entre elas.
Passo 6
Resolver para
: aplicamos a função tangente (inversa da arctangente) em ambos os lados para isolar
. A tangente é a inversa da
onde definida, então
Aqui
é uma constante real arbitrária. Esta é a solução geral da equação diferencial.
Passo 7
Comentário sobre domínio e singularidades: a função
tem assíntotas verticais quando seu argumento é
com
. Portanto a solução está definida em intervalos de
nos quais
. Em provas, é bom mencionar que a solução geral é
e que seu domínio depende da escolha da constante
.
Passo 8
Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando
usando a regra da cadeia, temos
Usando a identidade trigonométrica
e lembrando que
, obtemos
que coincide com a equação original, então a solução está correta.