Resolva a equação diferencial.
\frac{d y}{d x}=2 x\left(y^{2}+1\right)

Passo 1

O enunciado pede: resolver a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=2x\bigl(y^{2}+1\bigr).
Informações dadas:
  • A equação relaciona a derivada de y em relação a x com x e y.
  • Não foi dada nenhuma condição inicial, então devemos encontrar a solução geral (com constante arbitrária).
  • Não há figuras ou tabelas; todos os dados estão no enunciado acima.

Passo 2

Escolha do método (explicação didática): vamos observar a forma da equação
\frac{d y}{d x}=2x\bigl(y^{2}+1\bigr).
Uma equação é separável quando podemos escrever os termos que dependem de y multiplicando os termos que dependem de x, de modo que seja possível “separar” as variáveis em lados diferentes da igualdade. Aqui os fatores dependem multiplicativamente: o lado direito é um produto de uma função só de x 2x — por uma função só de y y^{2}+1. Portanto podemos separar as variáveis.

Passo 3

Separação das variáveis: dividimos ambos os lados por \,y^{2}+1 (que é sempre positivo, então não trocamos sinal) e multiplicamos por dx, obtendo
\frac{1}{y^{2}+1}\,dy = 2x\,dx.
Explicação da operação: estamos isolando os termos com y no lado esquerdo e os termos com x no lado direito para poder integrar cada lado em sua própria variável.

Passo 4

Integração dos dois lados: agora integramos ambos os lados em relação às suas variáveis.
A integral do lado esquerdo é a integral de \dfrac{1}{y^{2}+1} em y. Uma fórmula básica de integrais diz que a primitiva de \dfrac{1}{u^{2}+1} é \arctan(u), porque \dfrac{d}{du}\bigl(\arctan(u)\bigr)=\dfrac{1}{1+u^{2}}. Aplicando isso com u=y temos
\int \frac{1}{y^{2}+1}\,dy = \arctan(y)+C_1.
Do lado direito, a integral de 2x em x é simples: a primitiva de x é x^{2}/2, então a primitiva de 2x é x^{2}. Logo
\int 2x\,dx = x^{2}+C_2.

Passo 5

Juntando as primitivas: ao integrar os dois lados podemos reunir as constantes. Assim
\arctan(y)+C_1 = x^{2}+C_2.
Subtraindo C_1 dos dois lados e definindo uma constante única C=C_2-C_1 (constante arbitrária qualquer), obtemos
\arctan(y) = x^{2}+C.
Explicação sobre a constante: ao integrar cada lado aparece uma constante; combinamos essas constantes em uma única constante geral C porque só importa a diferença entre elas.

Passo 6

Resolver para y: aplicamos a função tangente (inversa da arctangente) em ambos os lados para isolar y. A tangente é a inversa da \arctan onde definida, então
y = \tan\bigl(x^{2}+C\bigr).
Aqui C é uma constante real arbitrária. Esta é a solução geral da equação diferencial.

Passo 7

Comentário sobre domínio e singularidades: a função \tan tem assíntotas verticais quando seu argumento é \dfrac{\pi}{2}+k\pi com k\in\mathbb{Z}. Portanto a solução está definida em intervalos de x nos quais x^{2}+C \neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi. Em provas, é bom mencionar que a solução geral é y=\tan(x^{2}+C) e que seu domínio depende da escolha da constante C.

Passo 8

Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando y=\tan\bigl(x^{2}+C\bigr) usando a regra da cadeia, temos
\frac{dy}{dx} = \operatorname{sec}^{2}\bigl(x^{2}+C\bigr)\cdot 2x.
Usando a identidade trigonométrica \operatorname{sec}^{2}(u)=1+\tan^{2}(u) e lembrando que \tan\bigl(x^{2}+C\bigr)=y, obtemos
\frac{dy}{dx}=2x\bigl(1+y^{2}\bigr),
que coincide com a equação original, então a solução está correta.

Resposta

y(x)=\tan\bigl(x^{2}+C\bigr)

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