Encontre a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada.
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial dada e a condição inicial.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
Aqui
é função de
e
é um parâmetro constante (pode ser positivo, negativo ou zero). A tarefa é achar explicitamente
.
Passo 2
Identificação da estratégia (sem jargão pesado): a equação tem o lado direito como produto de
por uma função que depende só de
. Isso permite separar as variáveis — tratamos
e
em lados opostos da equação para integrar. Escrevendo explicitamente dividindo por
(assumindo momentaneamente
, que depois veremos que é consistente com a condição inicial),
Agora reescrevemos de forma a integrar: todos os termos com
ficam de um lado e os com
do outro:
Explicação curta do porquê isso é permitido:
é a derivada de
em
; multiplicando ambos os lados por
e dividindo por
é uma manipulação comum para equações separáveis, que nos permite integrar ambos os lados.
Passo 3
Integração de ambos os lados. Integramos em
no lado esquerdo e em
no direito:
Cálculo das integrais:
- A integral da esquerda é conhecida:
- Para a direita,
pode ser feita pela substituição , então . Multiplicando por obtemos .
Portanto, após integrar:
onde
é constante de integração.
Passo 4
Isolando
: exponenciamos ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Escrevemos
como uma constante positiva
. Como
pode ser positivo ou negativo, incorporamos o sinal numa constante arbitrária
(essa é uma prática comum: a constante multiplicativa pode ser qualquer número real não nulo):
Aqui
é uma constante real ainda a determinar pela condição inicial.
Passo 5
Determinar a constante usando a condição inicial
. Avaliando a expressão em
:
Portanto
. Observação sobre o caso
: se
a equação original vira
, então
é constante igual a
. A fórmula que achamos também funciona nesse caso, pois
e
, logo
. Assim não há contradição.
Passo 6
Escrevendo a solução final com a constante encontrada:
Pronto — essa função satisfaz a equação diferencial e a condição inicial. Se quiser, na prova você pode justificar rapidamente cada passo: separar, integrar (lembrando que
quando
), exponentiar e aplicar a condição inicial.