Encontre a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada.
\frac{d A}{d r}=A b^{2} \cos b r, A(0)=b^{3}

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a função A(r) que satisfaz a equação diferencial dada e a condição inicial.
Informações fornecidas:
\frac{dA}{dr}=A\,b^{2}\cos(b r),
A(0)=b^{3}.
Aqui A é função de r e b é um parâmetro constante (pode ser positivo, negativo ou zero). A tarefa é achar explicitamente A(r).

Passo 2

Identificação da estratégia (sem jargão pesado): a equação tem o lado direito como produto de A por uma função que depende só de r. Isso permite separar as variáveis — tratamos A e r em lados opostos da equação para integrar. Escrevendo explicitamente dividindo por A (assumindo momentaneamente A\neq0, que depois veremos que é consistente com a condição inicial),
\frac{1}{A}\frac{dA}{dr}=b^{2}\cos(b r).
Agora reescrevemos de forma a integrar: todos os termos com A ficam de um lado e os com r do outro:
\frac{dA}{A}=b^{2}\cos(b r)\,dr.
Explicação curta do porquê isso é permitido: \frac{dA}{dr} é a derivada de A em r; multiplicando ambos os lados por dr e dividindo por A é uma manipulação comum para equações separáveis, que nos permite integrar ambos os lados.

Passo 3

Integração de ambos os lados. Integramos em A no lado esquerdo e em r no direito:
\int \frac{dA}{A} = \int b^{2}\cos(b r)\,dr.
Cálculo das integrais:
  • A integral da esquerda é conhecida: \displaystyle \int \frac{dA}{A}=\ln|A|.
  • Para a direita, \displaystyle \int \cos(b r)\,dr pode ser feita pela substituição u=b r\Rightarrow du=b\,dr, então \displaystyle \int \cos(b r)\,dr=\frac{1}{b}\sin(b r). Multiplicando por b^{2} obtemos b^{2}\cdot\frac{1}{b}\sin(b r)=b\sin(b r).
Portanto, após integrar:
\ln|A|=b\sin(b r)+C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Isolando A: exponenciamos ambos os lados para eliminar o logaritmo:
|A|=e^{C}\,e^{b\sin(b r)}.
Escrevemos e^{C} como uma constante positiva K. Como A pode ser positivo ou negativo, incorporamos o sinal numa constante arbitrária C_{1} (essa é uma prática comum: a constante multiplicativa pode ser qualquer número real não nulo):
A(r)=C_{1}\,e^{b\sin(b r)}.
Aqui C_{1} é uma constante real ainda a determinar pela condição inicial.

Passo 5

Determinar a constante usando a condição inicial A(0)=b^{3}. Avaliando a expressão em r=0:
A(0)=C_{1}\,e^{b\sin(0)}=C_{1}\,e^{0}=C_{1}.
Portanto C_{1}=b^{3}. Observação sobre o caso b=0: se b=0 a equação original vira \frac{dA}{dr}=0, então A é constante igual a A(0)=b^{3}=0. A fórmula que achamos também funciona nesse caso, pois \sin(0)=0 e e^{0}=1, logo A(r)=b^{3}\cdot 1=0. Assim não há contradição.

Passo 6

Escrevendo a solução final com a constante encontrada:
A(r)=b^{3}\,e^{b\sin(b r)}.
Pronto — essa função satisfaz a equação diferencial e a condição inicial. Se quiser, na prova você pode justificar rapidamente cada passo: separar, integrar (lembrando que \int\cos(br)\,dr=\frac{1}{b}\sin(br) quando b\neq0), exponentiar e aplicar a condição inicial.

Resposta

A(r)=b^{3}e^{b\sin(b r)}

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