Encontre a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada.
x+3 y^{2} \sqrt{x^{2}+1} \frac{d y}{d x}=0, y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada.” As informações fornecidas são:
x+3 y^{2} \sqrt{x^{2}+1} \frac{d y}{d x}=0,
com a condição inicial
y(0)=1.
Logo, precisamos encontrar uma função y(x) tal que ela satisfaça a equação diferencial dada para x e, além disso, satisfaça y(0)=1. Não vamos resolver nada ainda, só anotar isso.

Passo 2

Vamos reorganizar a equação para expor \dfrac{dy}{dx}. A equação é
x+3 y^{2} \sqrt{x^{2}+1} \frac{d y}{d x}=0.
Subtraindo x de ambos os lados e isolando \dfrac{dy}{dx} obtemos
3 y^{2} \sqrt{x^{2}+1} \frac{d y}{d x} = -x.
Agora divido ambos os lados por 3 y^{2} \sqrt{x^{2}+1} (assumindo y\neq 0 no intervalo de interesse; mais adiante veremos que a condição inicial dá y(0)=1\neq0, então tudo bem):
\frac{d y}{d x} = -\frac{x}{3 y^{2} \sqrt{x^{2}+1}}.

Passo 3

Identifico que a equação é separável: os termos envolvendo y podem ficar de um lado e os envolvendo x do outro. Multiplicando ambos os lados por 3 y^{2}\,dx
3 y^{2}\,dy = -\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx.
Explicando o que fiz: uma equação é separável quando pode ser escrita na forma g(y)\,dy = h(x)\,dx. A vantagem é que então podemos integrar os dois lados em relação às suas variáveis.

Passo 4

Agora integramos ambos os lados. Primeiro o lado esquerdo:
\int 3 y^{2}\,dy.
Uso a fórmula básica de integração de potência: para n\neq -1,
\int y^{n}\,dy = \frac{y^{n+1}}{n+1}.
Aqui n=2, então
\int 3 y^{2}\,dy = 3\cdot\frac{y^{3}}{3} = y^{3}.

Passo 5

Agora integramos o lado direito:
\int -\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx.
Faço a substituição u = x^{2}+1. Então du = 2x\,dx, ou seja x\,dx = \dfrac{du}{2}. Substituindo,
\int -\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx = -\int \frac{1}{\sqrt{u}}\cdot\frac{du}{2} = -\frac{1}{2}\int u^{-1/2}\,du.
Agora aplico a fórmula de potência com u^{-1/2}: \int u^{-1/2}\,du = 2 u^{1/2}. Portanto
-\frac{1}{2}\int u^{-1/2}\,du = -\frac{1}{2}\cdot 2 u^{1/2} = -u^{1/2}.
Voltando à variável original x,
\int -\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx = -\sqrt{x^{2}+1}.

Passo 6

Juntando os resultados das integrais (esquerda = direita + constante de integração), temos
y^{3} = -\sqrt{x^{2}+1} + C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 7

Agora aplicamos a condição inicial y(0)=1 para determinar C. Substituindo x=0 e y=1 na expressão,
1^{3} = -\sqrt{0^{2}+1} + C,
ou seja
1 = -1 + C.
Assim
C = 2.

Passo 8

Substituindo C=2 na solução implícita, obtemos
y^{3} = 2 - \sqrt{x^{2}+1}.
Finalmente, isolamos y. Como a raiz cúbica é função ímpar e contínua, a solução explícita é
y(x) = \left(2 - \sqrt{x^{2}+1}\right)^{1/3}.
Observação didática rápida: aqui a potência 1/3 representa a raiz cúbica real; perto de x=0 o argumento 2-\sqrt{x^{2}+1} é positivo (valendo 1 em x=0), então y é real e contínuo. Mesmo se o argumento ficar negativo para valores de x maiores, a raiz cúbica de número negativo é real, então a fórmula ainda fornece solução real.

Resposta

y(x)=\left(2-\sqrt{x^{2}+1}\right)^{1/3}

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