Encontre a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada.
Passo 1
O enunciado pede: “Encontre a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada.” As informações fornecidas são:
com a condição inicial
Logo, precisamos encontrar uma função
tal que ela satisfaça a equação diferencial dada para
e, além disso, satisfaça
. Não vamos resolver nada ainda, só anotar isso.
Passo 2
Vamos reorganizar a equação para expor
. A equação é
Subtraindo
de ambos os lados e isolando
obtemos
Agora divido ambos os lados por
(assumindo
no intervalo de interesse; mais adiante veremos que a condição inicial dá
, então tudo bem):
Passo 3
Identifico que a equação é separável: os termos envolvendo
podem ficar de um lado e os envolvendo
do outro. Multiplicando ambos os lados por
dá
Explicando o que fiz: uma equação é separável quando pode ser escrita na forma
. A vantagem é que então podemos integrar os dois lados em relação às suas variáveis.
Passo 4
Agora integramos ambos os lados. Primeiro o lado esquerdo:
Uso a fórmula básica de integração de potência: para
,
Aqui
, então
Passo 5
Agora integramos o lado direito:
Faço a substituição
. Então
, ou seja
. Substituindo,
Agora aplico a fórmula de potência com
:
. Portanto
Voltando à variável original
,
Passo 6
Juntando os resultados das integrais (esquerda = direita + constante de integração), temos
onde
é constante arbitrária.
Passo 7
Agora aplicamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
e
na expressão,
ou seja
Assim
Passo 8
Substituindo
na solução implícita, obtemos
Finalmente, isolamos
. Como a raiz cúbica é função ímpar e contínua, a solução explícita é
Observação didática rápida: aqui a potência
representa a raiz cúbica real; perto de
o argumento
é positivo (valendo
em
), então
é real e contínuo. Mesmo se o argumento ficar negativo para valores de
maiores, a raiz cúbica de número negativo é real, então a fórmula ainda fornece solução real.