Resolva a equação diferencial dada abaixo:
f)
f)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
O que se pede é a solução geral
. Informações importantes que já vêm do enunciado e que vou usar:
- O denominador pode anular-se quando
, portanto devemos ter no domínio da solução (as soluções serão definidas em intervalos que não contenham ). - Não foi dada condição inicial, então vamos procurar a solução geral com constante arbitrária.
Passo 2
Primeiro simplifico o denominador para ver a estrutura da equação:
Substituindo na equação original obtemos
Multiplicando ambos os lados por
fica
Note que o lado esquerdo depende só de
(multiplicado por
) e o direito só de
: isso indica que a equação é separável.
Passo 3
Faço a separação de variáveis de forma explícita: multiplico por
e obtenho
Explicando devagar: para separar variáveis basta escrever todos os termos com
junto de
à esquerda e todos os termos com
junto de
à direita. Aqui usei que
.
Passo 4
Agora integro ambos os lados. Integro a esquerda em relação a
e a direita em relação a
:
Calculo as primitivas passo a passo:
Então, incluindo a constante de integração, obtemos
onde
é constante arbitrária real.
Passo 5
Podemos deixar a solução nessa forma implícita ou resolver para
explicitamente. Para isolar
multiplico por
:
onde
é outra constante arbitrária. Reorganizando como uma equação quadrática em
:
Passo 6
Resolvo a quadrática usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para
tem-se
. Aqui
,
e
. O discriminante é
Portanto
onde renomeei a constante para
(constante arbitrária real).
Passo 7
Interpretação e comentários finais (úteis na hora da prova):
- A solução geral é
com
.
- A solução só faz sentido para
(porque apareceu ) e onde o radicando for não-negativo (caso contrário a expressão real com raiz quadrada não existe). - As duas escolhas de sinal
representam duas famílias de soluções que podem ser usadas conforme uma condição inicial fixa (um e determinam qual ramo e qual ). - Não existe a solução constante
, pois nessa função o denominador ficaria zerado (e a equação original não estaria definida).