Resolva a equação diferencial dada abaixo:
f) \frac{d v}{d x}=\frac{x+1}{x v+x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dv}{dx}=\frac{x+1}{xv+x}.
O que se pede é a solução geral v(x). Informações importantes que já vêm do enunciado e que vou usar:
  • O denominador pode anular-se quando x=0, portanto devemos ter x\neq 0 no domínio da solução (as soluções serão definidas em intervalos que não contenham 0).
  • Não foi dada condição inicial, então vamos procurar a solução geral com constante arbitrária.

Passo 2

Primeiro simplifico o denominador para ver a estrutura da equação:
xv+x = x(v+1).
Substituindo na equação original obtemos
\frac{dv}{dx}=\frac{x+1}{x(v+1)}.
Multiplicando ambos os lados por v+1 fica
(v+1)\frac{dv}{dx}=\frac{x+1}{x}.
Note que o lado esquerdo depende só de v (multiplicado por dv/dx) e o direito só de x: isso indica que a equação é separável.

Passo 3

Faço a separação de variáveis de forma explícita: multiplico por dx e obtenho
(v+1)\,dv=\left(1+\frac{1}{x}\right)\,dx.
Explicando devagar: para separar variáveis basta escrever todos os termos com v junto de dv à esquerda e todos os termos com x junto de dx à direita. Aqui usei que \dfrac{x+1}{x}=1+\dfrac{1}{x}.

Passo 4

Agora integro ambos os lados. Integro a esquerda em relação a v e a direita em relação a x:
\int (v+1)\,dv=\int\left(1+\frac{1}{x}\right)\,dx.
Calculo as primitivas passo a passo:
  • \displaystyle \int (v+1)\,dv=\int v\,dv+\int 1\,dv=\frac{1}{2}v^{2}+v.
  • \displaystyle \int\left(1+\frac{1}{x}\right)\,dx=\int 1\,dx+\int \frac{1}{x}\,dx = x+\ln|x|.
Então, incluindo a constante de integração, obtemos
\frac{1}{2}v^{2}+v = x + \ln|x| + C,
onde C é constante arbitrária real.

Passo 5

Podemos deixar a solução nessa forma implícita ou resolver para v explicitamente. Para isolar v multiplico por 2:
v^{2}+2v = 2x + 2\ln|x| + C_1,
onde C_1=2C é outra constante arbitrária. Reorganizando como uma equação quadrática em v:
v^{2}+2v - (2x + 2\ln|x| + C_1)=0.

Passo 6

Resolvo a quadrática usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para av^{2}+bv+c=0 tem-se v=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Aqui a=1, b=2 e c=-(2x+2\ln|x|+C_1). O discriminante é
\Delta = b^{2}-4ac = 4 - 4\cdot 1\cdot\bigl(-(2x+2\ln|x|+C_1)\bigr) = 4+4(2x+2\ln|x|+C_1).
Portanto
v = \frac{-2\pm\sqrt{4+4(2x+2\ln|x|+C_1)}}{2} = -1 \pm \sqrt{1+2x+2\ln|x|+C},
onde renomeei a constante para C (constante arbitrária real).

Passo 7

Interpretação e comentários finais (úteis na hora da prova):
  • A solução geral é
v(x) = -1 \pm \sqrt{\,1+2x+2\ln|x|+C\,},
com C\in\mathbb{R}.
  • A solução só faz sentido para x\neq 0 (porque apareceu \ln|x|) e onde o radicando 1+2x+2\ln|x|+C for não-negativo (caso contrário a expressão real com raiz quadrada não existe).
  • As duas escolhas de sinal \pm representam duas famílias de soluções que podem ser usadas conforme uma condição inicial fixa (um x_{0} e v(x_{0}) determinam qual ramo e qual C).
  • Não existe a solução constante v\equiv -1, pois nessa função o denominador x(v+1) ficaria zerado (e a equação original não estaria definida).

Resposta

v(x) = -1 \pm \sqrt{\,1+2x+2\ln|x|+C\,},\qquad C\in\mathbb{R},\\ x\neq 0

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