Encontre a solução da equação diferencial que satisfaça a condiçīo inicial dada.
(x \ln x) \frac{d y}{d x}+y=3 x^{2}, y(1)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial com condição inicial:
(x\ln x)\,\frac{dy}{dx} + y = 3x^{2}, \qquad y(1)=0.
Informações dadas e observações imediatas (apenas listar): \ln x aparece na equação, então a equação só faz sentido para x>0. A condição inicial está em x=1, onde \ln 1=0. Não vou resolver aqui — só identifiquei os dados e a condição que o problema exige.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, dividindo por x\ln x. Isso só é válido onde x\ln x\neq0, ou seja para x>0 com x\neq1. Dividindo obtemos:
\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x\ln x}\,y = \frac{3x}{\ln x}.
Aqui já vemos a forma padrão y'+P(x)y=Q(x) com P(x)=\dfrac{1}{x\ln x} e Q(x)=\dfrac{3x}{\ln x}, válida em cada intervalo onde \ln x não muda de sinal (por exemplo 0<x<1 ou x>1).

Passo 3

Breve aula: equação linear de primeira ordem.
Uma equação do tipo
y' + P(x)\,y = Q(x)
pode ser resolvida usando o fator integrante \mu(x), definido por
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
A razão: multiplicando a equação por \mu(x) a parte esquerda fica
\mu y' + \mu P y = \frac{d}{dx}\big(\mu y\big),
pois \mu'=\mu P. Assim conseguimos transformar a equação na forma
\frac{d}{dx}\big(\mu y\big)=\mu Q,
que se integra diretamente. Vou aplicar isso ao nosso P.

Passo 4

Calculemos o fator integrante para P(x)=\dfrac{1}{x\ln x}. Fazer a substituição ajuda:
coloque u=\ln x. Então du=\dfrac{1}{x}dx e
\int \frac{1}{x\ln x}\,dx = \int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C = \ln|\ln x| + C.
Portanto o fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\big(\ln|\ln x|\big)=|\ln x|.
Observação prática: em um intervalo onde \ln x>0 (isto é x>1) podemos tomar \mu(x)=\ln x; em 0<x<1 temos \mu(x)=-\ln x. O sinal não altera a resolução essencial, basta trabalhar em cada intervalo separadamente. Para ficar explícito, vou escolher \mu(x)=\ln x assumindo x>1 (o mesmo procedimento vale para 0<x<1, mudando apenas sinal de \mu).

Passo 5

Multiplicando a equação padrão por \mu(x)=\ln x (válido onde \ln x\neq0) obtemos:
\ln x\cdot y' + \frac{\ln x}{x\ln x}\,y = \ln x\cdot\frac{3x}{\ln x}.
Simplificando os termos:
\ln x\;y' + \frac{1}{x}\,y = 3x.
Verificamos que a esquerda é a derivada de (\ln x)\,y, porque (\ln x)'=\dfrac{1}{x}. Assim
\frac{d}{dx}\big((\ln x)\,y\big)=3x.

Passo 6

Integramos ambos os lados em x:
(\ln x)\,y = \int 3x\,dx = \frac{3x^{2}}{2} + C,
onde C é a constante de integração. Isolando y obtemos a solução geral (em cada intervalo onde \ln x\neq0):
y(x)=\frac{\dfrac{3x^{2}}{2}+C}{\ln x}.
Podemos reescrever, por exemplo,
y(x)=\frac{3x^{2}}{2\ln x} + \frac{C}{\ln x}.
Essa é a família de soluções válidas para 0<x<1 e para x>1 (com possivelmente constantes C diferentes em cada intervalo), mas não está definida em x=1 porque \ln 1=0.

Passo 7

Agora analisamos a condição inicial y(1)=0. Aqui há um ponto crucial: a equação original tem o fator x\ln x multiplicando y', e em x=1 este fator vale zero. Logo a equação original, avaliada em x=1, se reduz a
(1\cdot 0)\,y'(1) + y(1) = 3\cdot 1^{2},
isto é
y(1)=3.
Portanto, se uma função y satisfizer a equação diferencial no ponto x=1 (no sentido clássico), ela necessariamente deve ter y(1)=3. A condição dada y(1)=0 contradiz isso — são incompatíveis.

Passo 8

Para ver também a incompatibilidade via a expressão geral: tentar impor y(1)=0 na forma
y(x)=\frac{\tfrac{3x^{2}}{2}+C}{\ln x}
é problemático porque o denominador vai a zero quando x\to1. Para ter qualquer chance de estender a solução por continuidade em x=1 é necessário que o numerador também tenda a zero quando x\to1, isto é exigir \tfrac{3\cdot1^{2}}{2}+C=0, ou seja C=-\tfrac{3}{2}. Com essa escolha ficamos com
y(x)=\frac{\tfrac{3}{2}(x^{2}-1)}{\ln x}.
Calculando o limite quando x\to1 (usando a aproximação \ln x\sim x-1 ou por l’Hôpital) obtemos
\lim_{x\to1}\frac{\tfrac{3}{2}(x^{2}-1)}{\ln x} = \lim_{x\to1}\frac{\tfrac{3}{2}(2x)}{\tfrac{1}{x}} \quad\text{(aplicando l'Hôpital)} =3.ô
Logo essa escolha dá y(1)=3, não 0. Portanto não existe constante C que produza uma solução que atenda y(1)=0.

Resposta

Não existe solução da equação diferencial que satisfaça y(1)=0.

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