Encontre a solução da equação diferencial que satisfaça a condiçīo inicial dada.
(x \ln x) \frac{d y}{d x}+y=3 x^{2}, y(1)=0.
(x \ln x) \frac{d y}{d x}+y=3 x^{2}, y(1)=0.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial com condição inicial:
Informações dadas e observações imediatas (apenas listar):
aparece na equação, então a equação só faz sentido para
. A condição inicial está em
, onde
. Não vou resolver aqui — só identifiquei os dados e a condição que o problema exige.
Passo 2
Colocamos a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, dividindo por
. Isso só é válido onde
, ou seja para
com
. Dividindo obtemos:
Aqui já vemos a forma padrão
com
e
, válida em cada intervalo onde
não muda de sinal (por exemplo
ou
).
Passo 3
Breve aula: equação linear de primeira ordem.
Uma equação do tipo
Uma equação do tipo
pode ser resolvida usando o fator integrante
, definido por
A razão: multiplicando a equação por
a parte esquerda fica
pois
. Assim conseguimos transformar a equação na forma
que se integra diretamente. Vou aplicar isso ao nosso
.
Passo 4
Calculemos o fator integrante para
. Fazer a substituição ajuda:
coloque . Então
e
coloque
Portanto o fator integrante é
Observação prática: em um intervalo onde
(isto é
) podemos tomar
; em
temos
. O sinal não altera a resolução essencial, basta trabalhar em cada intervalo separadamente. Para ficar explícito, vou escolher
assumindo
(o mesmo procedimento vale para
, mudando apenas sinal de
).
Passo 5
Multiplicando a equação padrão por
(válido onde
) obtemos:
Simplificando os termos:
Verificamos que a esquerda é a derivada de
, porque
. Assim
Passo 6
Integramos ambos os lados em
:
onde
é a constante de integração. Isolando
obtemos a solução geral (em cada intervalo onde
):
Podemos reescrever, por exemplo,
Essa é a família de soluções válidas para
e para
(com possivelmente constantes
diferentes em cada intervalo), mas não está definida em
porque
.
Passo 7
Agora analisamos a condição inicial
. Aqui há um ponto crucial: a equação original tem o fator
multiplicando
, e em
este fator vale zero. Logo a equação original, avaliada em
, se reduz a
isto é
Portanto, se uma função
satisfizer a equação diferencial no ponto
(no sentido clássico), ela necessariamente deve ter
. A condição dada
contradiz isso — são incompatíveis.
Passo 8
Para ver também a incompatibilidade via a expressão geral: tentar impor
na forma
é problemático porque o denominador vai a zero quando
. Para ter qualquer chance de estender a solução por continuidade em
é necessário que o numerador também tenda a zero quando
, isto é exigir
, ou seja
. Com essa escolha ficamos com
Calculando o limite quando
(usando a aproximação
ou por l’Hôpital) obtemos
Logo essa escolha dá
, não
. Portanto não existe constante
que produza uma solução que atenda
.
Resposta
Não existe solução da equação diferencial que satisfaça
.