Encontre a solução
da equação de Laplace no retângulo
que satisfaz as condições de contorno
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação de Laplace
no retângulo
sujeita às condições
Vamos usar separação de variáveis, expandir em série de senos em
e resolver a parte em
com funções hiperbólicas.
Passo 2
Proponha a expansão em modos que satisfazem
:
Cada modo
zera em
e
.
Passo 3
Substituindo na equação de Laplace,
cada coeficiente em
deve anular. Assim, para cada
,
A solução geral é
Passo 4
Impondo a condição de Robin em
,
Como
e
,
temos em :
temos em
Logo
Passo 5
Em
vale
, isto é
onde
Como
segue
Passo 6
Substituindo
em
e retornando à série, obtemos
com
e