Encontre a solução u(x, y) da equação de Laplace no retângulo 0<x<a, 0<y<b que satisfaz as condições de contorno
\begin{array}{ll}u(x, 0)=\left.u_{y}\right|_{y=0}, & u(x, b)=f(x) \u(0, y)=0, & u(a, y)=0\end{array}

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação de Laplace
u_{xx}+u_{yy}=0
no retângulo 0<x<a,\;0<y<b sujeita às condições
u(0,y)=0,\quad u(a,y)=0\quad(\text{Dirichlet nas bordas verticais}),
u(x,b)=f(x)\quad(\text{Dirichlet em }y=b),
u_y(x,0)-u(x,0)=0\quad(\text{condição de Robin em }y=0).çã
Vamos usar separação de variáveis, expandir em série de senos em x e resolver a parte em y com funções hiperbólicas.

Passo 2

Proponha a expansão em modos que satisfazem u(0,y)=u(a,y)=0:
u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}A_n(y)\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{a}x\bigr).
Cada modo \sin\bigl(\tfrac{n\pi}{a}x\bigr) zera em x=0 e x=a.

Passo 3

Substituindo na equação de Laplace,
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(A_n''(y)-\bigl(\tfrac{n\pi}{a}\bigr)^2A_n(y)\Bigr)\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{a}x\bigr)=0
cada coeficiente em \sin(\tfrac{n\pi}{a}x) deve anular. Assim, para cada n,
A_n''(y)-\lambda_n^2A_n(y)=0,\quad\lambda_n=\tfrac{n\pi}{a}.
A solução geral é
A_n(y)=\alpha_n\operatorname{sinh}(\lambda_n y)+\beta_n\operatorname{cosh}(\lambda_n y).

Passo 4

Impondo a condição de Robin em y=0,
u_y(x,0)-u(x,0)=0 \;\Longrightarrow\; A_n'(0)-A_n(0)=0.
Como A_n(0)=\beta_n e A_n'(y)=\alpha_n\lambda_n\operatorname{cosh}(\lambda_n y)+\beta_n\lambda_n\operatorname{sinh}(\lambda_n y),
temos em y=0:
\alpha_n\,\lambda_n-\beta_n=0 \quad\Longrightarrow\quad \beta_n=\lambda_n\alpha_n.
Logo
A_n(y)=\alpha_n\bigl[\operatorname{sinh}(\lambda_n y)+\lambda_n\operatorname{cosh}(\lambda_n y)\bigr].

Passo 5

Em y=b vale u(x,b)=f(x), isto é
\sum_{n=1}^\infty A_n(b)\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{a}x\bigr) =\sum_{n=1}^\infty f_n\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{a}x\bigr),
onde
f_n=\frac{2}{a}\int_{0}^{a}f(x)\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{a}x\bigr)\,dx.
Como
A_n(b)=\alpha_n\bigl[\operatorname{sinh}(\lambda_n b)+\lambda_n\operatorname{cosh}(\lambda_n b)\bigr],
segue
\alpha_n =\frac{f_n}{\operatorname{sinh}(\lambda_n b)+\lambda_n\operatorname{cosh}(\lambda_n b)}.

Passo 6

Substituindo \alpha_n em A_n(y) e retornando à série, obtemos
u(x,y) =\sum_{n=1}^\infty \frac{f_n}{\operatorname{sinh}(\lambda_n b)+\lambda_n\operatorname{cosh}(\lambda_n b)} \bigl[\operatorname{sinh}(\lambda_n y)+\lambda_n\operatorname{cosh}(\lambda_n y)\bigr] \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{a}x\bigr),
com \lambda_n=\tfrac{n\pi}{a} e
f_n=\frac{2}{a}\int_{0}^{a}f(x)\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{a}x\bigr)\,dx.

Resposta

\boxed{ u(x,y) =\sum_{n=1}^\infty \frac{\displaystyle\frac{2}{a}\int_{0}^{a}f(s)\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{a}s\bigr)\,ds} {\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{n\pi}{a}b\bigr)+\tfrac{n\pi}{a}\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{n\pi}{a}b\bigr)} \bigl[\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{n\pi}{a}y\bigr)+\tfrac{n\pi}{a}\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{n\pi}{a}y\bigr)\bigr] \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{a}x\bigr) }.

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