Encontre a solução u(x, y) da equação de Laplace no retângulo 0<x<a, 0<y<b que satisfaz as condições de contorno
\begin{array}{ll}u(x, 0)=0, & u(x, b)=0 \u(0, y)=\left.u_{x}\right|_{x=0}, & u(a, y)=1\end{array}

Passo 1

O problema é encontrar a solução u(x,y) de
u_{xx}+u_{yy}=0,\quad 0<x<a,\;0<y<b
sujeita a
u(x,0)=0,\quad u(x,b)=0,\quad u(0,y)=u_x(0,y),\quad u(a,y)=1.
Vamos usar o método de separação de variáveis: buscamos séries em modos \sin\bigl(\tfrac{n\pi y}{b}\bigr) que satisfaçam as condições em y, e funções hiperbólicas em x para ajustar as condições em x.

Passo 2

Assuma
u(x,y)=X(x)\,Y(y).
Substituindo em u_{xx}+u_{yy}=0 e dividindo por XY obtém-se
\frac{X''(x)}{X(x)} + \frac{Y''(y)}{Y(y)}=0 \;\Longrightarrow\; \frac{Y''(y)}{Y(y)}=-\lambda,\quad \frac{X''(x)}{X(x)}=+\lambda.

Passo 3

Pelas condições u(x,0)=0 e u(x,b)=0 precisamos de
Y(0)=0,\quad Y(b)=0.
Isto leva aos autovalores \lambda_n=(\tfrac{n\pi}{b})^2 e aos autofunções
Y_n(y)=\sin\!\bigl(\alpha_n\,y\bigr), \quad \alpha_n=\frac{n\pi}{b},\;n=1,2,3,\dots

Passo 4

Para cada \lambda_n a equação em X é
X''(x)-\alpha_n^2\,X(x)=0,
cuja solução geral pode ser escrita em termos de funções hiperbólicas:
X_n(x)=A_n\,\operatorname{sinh}(\alpha_n x)+B_n\,\operatorname{cosh}(\alpha_n x).
Logo a solução geral por séries é
u(x,y) =\sum_{n=1}^{\infty}\bigl[A_n\,\operatorname{sinh}(\alpha_n x)+B_n\,\operatorname{cosh}(\alpha_n x)\bigr] \sin(\alpha_n y).

Passo 5

Impondo a condição mista em x=0:
u(0,y)=u_x(0,y).
Calculando
u(0,y)=\sum_{n=1}^\infty B_n\,\sin(\alpha_n y), \quad u_x(0,y)=\sum_{n=1}^\infty A_n\,\alpha_n\,\sin(\alpha_n y),
segue coeficiente a coeficiente
B_n = A_n\,\alpha_n.

Passo 6

Em x=a temos u(a,y)=1. Expandimos o constante 1 na série de \sin(\alpha_n y) em 0<y<b:
1=\sum_{n=1}^\infty C_n\,\sin\!\bigl(\alpha_n y\bigr), \quad C_n=\frac{2}{b}\int_0^b 1\;\sin(\alpha_n y)\,dy =\frac{2}{n\pi}\bigl[1-(-1)^n\bigr].
Logo C_n=4/((2m-1)\pi) para n=2m-1 ímpar, e C_n=0 para n par.

Passo 7

A condição u(a,y)=1
A_n\,\operatorname{sinh}(\alpha_n a)+B_n\,\operatorname{cosh}(\alpha_n a) =C_n.
Como B_n=A_n\alpha_n,
A_n\bigl[\operatorname{sinh}(\alpha_n a)+\alpha_n\operatorname{cosh}(\alpha_n a)\bigr] =C_n \;\Longrightarrow\; A_n=\frac{C_n}{\operatorname{sinh}(\alpha_n a)+\alpha_n\operatorname{cosh}(\alpha_n a)}, \quad B_n=\alpha_n A_n.

Passo 8

Substituindo em u(x,y) obtemos a solução em série:
u(x,y) =\sum_{n=1}^\infty \frac{C_n}{\operatorname{sinh}(\alpha_n a)+\alpha_n\operatorname{cosh}(\alpha_n a)} \bigl[\operatorname{sinh}(\alpha_n x)+\alpha_n\operatorname{cosh}(\alpha_n x)\bigr] \sin(\alpha_n y),
com
\displaystyle \alpha_n=\frac{n\pi}{b},
\displaystyle C_n=\frac{2}{n\pi}\bigl[1-(-1)^n\bigr].

Resposta

\boxed{ u(x,y) =\sum_{n=1}^\infty \frac{\displaystyle \tfrac{2\bigl[1-(-1)^n\bigr]}{n\pi}} {\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{n\pi a}{b}\bigr) +\tfrac{n\pi}{b}\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{n\pi a}{b}\bigr)} \biggl[\operatorname{sinh}\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{b}\Bigr) +\frac{n\pi}{b}\operatorname{cosh}\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{b}\Bigr)\biggr] \sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi y}{b}\Bigr), }
onde só os termos de n ímpar contribuem porque 1-(-1)^n\neq0 só para n=2m-1.

Exercícios relacionados