Encontre a solução
da equação de Laplace no retângulo
que satisfaz as condições de contorno
Passo 1
O problema é encontrar a solução
de
sujeita a
Vamos usar o método de separação de variáveis: buscamos séries em modos
que satisfaçam as condições em
, e funções hiperbólicas em
para ajustar as condições em
.
Passo 2
Assuma
Substituindo em
e dividindo por
obtém-se
Passo 3
Pelas condições
e
precisamos de
Isto leva aos autovalores
e aos autofunções
Passo 4
Para cada
a equação em
é
cuja solução geral pode ser escrita em termos de funções hiperbólicas:
Logo a solução geral por séries é
Passo 5
Impondo a condição mista em
:
Calculando
segue coeficiente a coeficiente
Passo 6
Em
temos
. Expandimos o constante
na série de
em
:
Logo
para
ímpar, e
para
par.
Passo 7
A condição
dá
Como
,
Passo 8
Substituindo em
obtemos a solução em série:
com
Resposta
onde só os termos de
ímpar contribuem porque
só para
.