Determine a transformada de Fourier das seguintes funções f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}.
f(x)=e^{-(a+i b) x} u_{0}(x)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier da função
\displaystyle f(x)=e^{-(a+i b)x}\,u_{0}(x),
onde u_{0}(x) é a função degrau de Heaviside (igual a 1 para x\ge0 e 0 para x<0).
O conteúdo envolvido é a transformada de Fourier de uma exponencial complexa restrita a x\ge0. Vamos usar a definição
\mathcal{F}\{f\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,e^{-i\omega x}\,dx
e a fórmula do integral exponencial
\int_{0}^{\infty}e^{-p x}\,dx=\frac{1}{p},\quad \Re(p)>0.

Passo 2

Aplicando a definição, como f(x)=0 para x<0, temos
\mathcal{F}\{f\}(\omega) =\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(a+i b)x}\,u_{0}(x)\,e^{-i\omega x}\,dx =\int_{0}^{\infty}e^{-(a+i b)x}\,e^{-i\omega x}\,dx.

Passo 3

Agrupamos os expoentes:
e^{-(a+i b)x}\,e^{-i\omega x} =e^{-a x}\,e^{-i(b+\omega)x} =e^{-\bigl(a + i(b+\omega)\bigr)x}.
Então
\mathcal{F}\{f\}(\omega) =\int_{0}^{\infty}e^{-\bigl(a + i(b+\omega)\bigr)x}\,dx.

Passo 4

Usamos a fórmula do integral exponencial com
\displaystyle p=a+i(b+\omega) e \Re(a)>0 para garantir convergência:
\int_{0}^{\infty}e^{-p x}\,dx=\frac{1}{p} \quad\Longrightarrow\quad \mathcal{F}\{f\}(\omega) =\frac{1}{a + i\bigl(b+\omega\bigr)}.

Resposta

\boxed{\mathcal{F}\{e^{-(a+i b)x}u_{0}(x)\}(\omega) =\frac{1}{a + i\,(b+\omega)},\quad \Re(a)>0.}

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