(Calculando integrais de formas diferenciais) Mostre que as formas diferenciais na integral
\int_{(0,0,0)}^{(2,3,-6)} 2 x d x+2 y d y+2 z d z
são exatas. Depois calcule essa integral.

Passo 1

O enunciado nos dá a forma diferencial
\omega = 2x\,dx + 2y\,dy + 2z\,dz
definida em \mathbb{R}^3, e pede para mostrar que \omega é exata e, em seguida, calcular a integral de linha de \omega ao longo de qualquer curva que vá de (0,0,0) até (2,3,-6). O conteúdo aqui é formas diferenciais, critério de fechamento em domínio simplesmente conexo e existência de potencial.

Passo 2

Para verificar que \omega é uma forma fechada, calculamos as derivadas parciais cruzadas dos coeficientes:
\displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(2x)=0,
\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(2y)=0,
\displaystyle \frac{\partial}{\partial z}(2x)=0,
\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(2z)=0,
\displaystyle \frac{\partial}{\partial z}(2y)=0,
\displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(2z)=0.
Como todas coincidem e o domínio \mathbb{R}^3 é simplesmente conexo, forma fechada implica forma exata.

Passo 3

Para encontrar a função potencial \varphi(x,y,z) tal que d\varphi=\omega, integramos cada termo:
\varphi(x,y,z)=x^2+y^2+z^2,
pois
d\varphi = 2x\,dx + 2y\,dy + 2z\,dz = \omega.

Passo 4

Como a integral de linha de uma forma exata independe do caminho, basta avaliar
\int_{(0,0,0)}^{(2,3,-6)}\omega = \varphi(2,3,-6) - \varphi(0,0,0) = \bigl(2^2+3^2+(-6)^2\bigr) - 0 = 4 + 9 + 36 = 49.

Resposta

49

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