(Calculando integrais de formas diferenciais) Mostre que as formas diferenciais na integral
são exatas. Depois calcule essa integral.
são exatas. Depois calcule essa integral.
Passo 1
O enunciado nos dá a forma diferencial
definida em
, e pede para mostrar que
é exata e, em seguida, calcular a integral de linha de
ao longo de qualquer curva que vá de
até
. O conteúdo aqui é formas diferenciais, critério de fechamento em domínio simplesmente conexo e existência de potencial.
Passo 2
Para verificar que
é uma forma fechada, calculamos as derivadas parciais cruzadas dos coeficientes:
,
,
,
,
,
.
Como todas coincidem e o domínio é simplesmente conexo, forma fechada implica forma exata.
Como todas coincidem e o domínio
Passo 3
Para encontrar a função potencial
tal que
, integramos cada termo:
pois
Passo 4
Como a integral de linha de uma forma exata independe do caminho, basta avaliar