a. Encontre a solução u(x, y) da equação de Laplace no retângulo 0<x<a, 0<y<b, que satisfaz as condições de contorno
\begin{array}{lll} u_{x}(0, y)=0, & u_{x}(a, y)=0, & 0<y<b, \\\ u(x, 0)=0, & u(x, b)=g(x), & 0<x<a . \end{array}
b. Encontre a solução se g(x)=1+x^{2}(x-a)^{2}.
G c. Sejam a=3 e b=2; faça gráficos de visões diferentes da solução.

Passo 1

O problema é resolver
u_{xx}+u_{yy}=0,\quad0<x<a,\;0<y<b,
com condições de contorno
u_x(0,y)=0,\quad u_x(a,y)=0,\quad 0<y<b,
u(x,0)=0,\quad u(x,b)=g(x),\quad0<x<a.
Isso é um problema de Laplace num retângulo com condição de Neumann em x=0,a e Dirichlet em y=0,b. Vamos usar separação de variáveis e séries de cossenos em x.

Passo 2

Procuramos solução da forma
u(x,y)=\sum_{n=0}^\infty A_n(y)\,X_n(x),
onde X_n\) satisfaz \[X_n''+\lambda_n X_n=0,\quad X_n'(0)=X_n'(a)=0.
As autofunções e autovalores são
\lambda_n=\Bigl(\tfrac{n\pi}{a}\Bigr)^2,\quad X_n(x)=\begin{cases} 1,&n=0,\\\ \cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{a}\bigr),&n\ge1. \end{cases}
Para cada n\], a parte em \(y satisfaz
A_n''-\lambda_n A_n=0,
cuja solução geral é combinação de \operatorname{sinh} e \operatorname{cosh}.

Passo 3

Impondo u(x,0)=0 e u(x,b)=g(x), obtemos a série
u(x,y) =\underbrace{\frac{g_0}{b}\,y}_{\text{modo }n=0} +\sum_{n=1}^{\infty}g_n\, \frac{\operatorname{sinh}\bigl(\tfrac{n\pi y}{a}\bigr)}{\operatorname{sinh}\bigl(\tfrac{n\pi b}{a}\bigr)} \cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{a}\bigr),
onde
g_0=\frac{1}{a}\int_{0}^{a}g(x)\,dx, \quad g_n=\frac{2}{a}\int_{0}^{a}g(x)\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{a}\bigr)\,dx.

Passo 4

Para g(x)=1+x^2(x-a)^2 temos
\int_0^a x^2(x-a)^2\,dx =\int_0^a\bigl(x^4-2a x^3+a^2x^2\bigr)\,dx =\frac{a^5}{5}-2a\frac{a^4}{4}+a^2\frac{a^3}{3} =\frac{a^5}{30}.
Logo
g_0 =\frac1a\int_0^a\bigl(1+x^2(x-a)^2\bigr)dx =1+\frac{a^4}{30}.
E para n\ge1
g_n =\frac{2}{a}\int_{0}^{a}\bigl(x^4-2a x^3+a^2x^2\bigr) \cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{a}\bigr)\,dx,
que se calcula por partes conforme desejado.

Passo 5

Portanto a solução fica
\boxed{ u(x,y) =\Bigl(1+\tfrac{a^4}{30}\Bigr)\frac{y}{b} +\sum_{n=1}^\infty \Bigl[\frac{2}{a}\!\int_{0}^{a}\!\bigl(x^4-2a x^3+a^2x^2\bigr) \cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{a}\bigr)dx\Bigr] \frac{\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{n\pi y}{a}\bigr)} {\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{n\pi b}{a}\bigr)} \cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{a}\bigr). }

Passo 6

Para a=3, b=2 e truncando a série em N termos, um jeito simples de gerar gráficos é usar Python + NumPy + Matplotlib, por exemplo:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
a, b \(=3\), \(2\)
def \(g_n\)(n):
    k \(=\) n*np.pi/a
    # calcular integral por quadratura:
    x \(=\) np.linspace(\(0\),a,\(500\))
    f \(=\) x**\(4\) - \(2\)*a*x**\(3+\) a*a*x**\(2\)
    return (\(2\)/a)*np.trapz(f*np.cos(k*x), x)
def u(x,y,N):
    s \(=\) (\(1+\)a**\(4\)/\(30\))*(y/b)
    for n in range(\(1\), N\(+1\)):
        gn \(= g_n\)(n)
        s \(+=\) gn * np.sinh(n*np.pi*y/a)/np.sinh(n*np.pi*b/a) * np.cos(n*np.pi*x/a)
    return s

# malha
X \(=\) np.linspace(\(0\),a,\(100\))
Y \(=\) np.linspace(\(0\),b,\(100\))
Xg, Yg \(=\) np.meshgrid(X,Y)
Z \(=\) u(Xg, Yg, N\(=30\))

# superfície \(3\)D
fig \(=\) plt.figure()
ax \(=\) fig.\(add_subplot\)(\(111\), projection\(=\)'\(3\)d')
ax.\(plot_surface\)(Xg, Yg, Z, cmap\(=\)'viridis')
plt.title('Superfície u(x,y)')

# contorno no plano
plt.figure()
cs \(=\) plt.contourf(Xg, Yg, Z, \(20\), cmap\(=\)'viridis')
plt.colorbar(cs)
plt.title('Linhas de nível de u(x,y)')
plt.show()

Resposta

u(x,y) = \displaystyle\Bigl(1+\tfrac{a4}{30}\Bigr)\frac{y}{b}+\sum_{n=1}\infty!\Bigl[\tfrac{2}{a}!\int_{0}{a}!(x4-2a x3+a2x^2)\cos\left(\tfrac{n\pi x}{a}\right)dx\Bigr]!\frac{\operatorname{sinh}\left(\tfrac{n\pi y}{a}\right)}{\operatorname{sinh}\left(\tfrac{n\pi b}{a}\right)}\cos\left(\tfrac{n\pi x}{a}\right),
com a=3,b=2 e gráficos conforme o código acima.

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