Mostre que a equação de Laplace em coordenadas polares é
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, ao mudar de coordenadas cartesianas
para coordenadas polares
via
a equação de Laplace
passa a ser
O conteúdo principal aqui é usar a regra da cadeia para transformar derivadas parciais de
em derivadas de
.
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas de
e
em relação a
e
. Como
temos
Passo 3
Pela regra da cadeia, as derivadas primeiras de
são
Passo 4
Agora diferenciamos de novo e somamos
. Em cada termo aparecem produtos como
ou
; aplicando a regra da cadeia com
e
e depois agrupando, obtemos:
Como
e o coeficiente de
se anula, ficamos com
Impondo
, conclui-se a forma desejada em coordenadas polares.