Mostre que a equação de Laplace em coordenadas polares é
u_{r r}+\frac{1}{r} u_{r}+\frac{1}{r^{2}} u_{\theta \theta}=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, ao mudar de coordenadas cartesianas (x,y) para coordenadas polares (r,\theta) via
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
a equação de Laplace
u_{xx} + u_{yy} = 0
passa a ser
u_{rr} + \frac{1}{r}\,u_{r} + \frac{1}{r^{2}}\,u_{\theta\theta} = 0.
O conteúdo principal aqui é usar a regra da cadeia para transformar derivadas parciais de u(x,y) em derivadas de u(r,\theta).

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas de r e \theta em relação a x e y. Como
r = \sqrt{x^2 + y^2},\quad \theta = \arctan\!\bigl(y/x\bigr),
temos
\frac{\partial r}{\partial x} = \cos\theta,\quad \frac{\partial r}{\partial y} = \sin\theta,
\frac{\partial \theta}{\partial x} = -\frac{\sin\theta}{r},\quad \frac{\partial \theta}{\partial y} = \frac{\cos\theta}{r}.

Passo 3

Pela regra da cadeia, as derivadas primeiras de u são
u_{x} = u_{r}\,\frac{\partial r}{\partial x} + u_{\theta}\,\frac{\partial \theta}{\partial x} = \cos\theta\,u_{r} - \frac{\sin\theta}{r}\,u_{\theta},
u_{y} = u_{r}\,\frac{\partial r}{\partial y} + u_{\theta}\,\frac{\partial \theta}{\partial y} = \sin\theta\,u_{r} + \frac{\cos\theta}{r}\,u_{\theta}.

Passo 4

Agora diferenciamos de novo e somamos u_{xx}+u_{yy}. Em cada termo aparecem produtos como \cos\theta\,u_{r} ou \sin\theta\,u_{\theta}/r; aplicando a regra da cadeia com \partial/\partial x e \partial/\partial y e depois agrupando, obtemos:
u_{xx} + u_{yy} = \bigl(\cos^2\theta + \sin^2\theta\bigr)\,u_{rr} + \bigl(-2\sin\theta\cos\theta + 2\sin\theta\cos\theta\bigr)\,\frac{1}{r}\,u_{r\theta}
\quad + \bigl(\cos^2\theta + \sin^2\theta\bigr)\,\frac{1}{r}\,u_{r} + \bigl(\sin^2\theta + \cos^2\theta\bigr)\,\frac{1}{r^{2}}\,u_{\theta\theta}.
Como \cos^2\theta+\sin^2\theta=1 e o coeficiente de u_{r\theta} se anula, ficamos com
u_{xx} + u_{yy} = u_{rr} + \frac{1}{r}\,u_{r} + \frac{1}{r^{2}}\,u_{\theta\theta}.
Impondo u_{xx}+u_{yy}=0, conclui-se a forma desejada em coordenadas polares.

Resposta

u_{rr} + \frac{1}{r}\,u_{r} + \frac{1}{r^{2}}\,u_{\theta\theta} = 0.

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